ПРИЛОЖЕНИЕ
к основной образовательной программе
среднего общего образования,
утверждённой приказом директора
МАОУ-Гимназии № 45,
Приказ № 101/2-од от 29.08.2025
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ
«ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА»
(углубленный уровень)
г. Екатеринбург, 2025 г.
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ
«ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» (углубленный уровень)
10 КЛАСС
Граф, связный граф, пути в графе: циклы и цепи. Степень (валентность) вершины. Графы на
плоскости. Деревья.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные события (исходы).
Вероятность случайного события. Близость частоты и вероятности событий. Случайные опыты с
равновозможными элементарными событиями.
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события. Диаграммы
Эйлера. Формула сложения вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента. Формула
полной вероятности. Формула Байеса. Независимые события.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые испытания. Серия
независимых испытаний до первого успеха. Перестановки и факториал. Число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Формула бинома Ньютона.
Серия независимых испытаний Бернулли. Случайный выбор из конечной совокупности.
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения. Операции над
случайными величинами. Бинарная случайная величина. Примеры распределений, в том числе
геометрическое и биномиальное.
11 КЛАСС
Совместное распределение двух случайных величин. Независимые случайные величины.
Математическое ожидание случайной величины (распределения). Примеры применения
математического ожидания (страхование, лотерея). Математическое ожидание бинарной случайной
величины. Математическое ожидание суммы случайных величин. Математическое ожидание
геометрического и биномиального распределений.
Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины (распределения). Дисперсия бинарной
случайной величины. Математическое ожидание произведения и дисперсия суммы независимых
случайных величин. Дисперсия и стандартное отклонение биномиального распределения. Дисперсия и
стандартное отклонение геометрического распределения.
Неравенство Чебышёва. Теорема Чебышёва. Теорема Бернулли. Закон больших чисел. Выборочный
метод исследований. Выборочные характеристики. Оценивание вероятности события по выборочным
данным. Проверка простейших гипотез с помощью изученных распределений.
Непрерывные случайные величины. Примеры. Функция плотности вероятности распределения.
Равномерное распределение и его свойства. Задачи, приводящие к показательному распределению.
Задачи, приводящие к нормальному распределению. Функция плотности вероятности показательного
распределения, функция плотности вероятности нормального распределения. Функция плотности и
свойства нормального распределения.
Последовательность одиночных независимых событий. Задачи, приводящие к распределению
Пуассона.
Ковариация двух случайных величин. Коэффициент линейной корреляции. Совместные
наблюдения двух величин. Выборочный коэффициент корреляции. Различие между линейной связью и
причинно-следственной связью. Линейная регрессия, метод наименьших квадратов.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «ВЕРОЯТНОСТЬ И
СТАТИСТИКА» (УГЛУБЛЕННЫЙ УРОВЕНЬ)
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданского воспитания:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и ответственного члена
российского общества, представление о математических основах функционирования различных
структур, явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и другое), умение
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их функциями и назначением;
2) патриотического воспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и настоящему
российской математики, ценностное отношение к достижениям российских математиков и российской
математической школы, использование этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики;
3) духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность нравственного сознания,
этического поведения, связанного с практическим применением достижений науки и деятельностью
учёного, осознание личного вклада в построение устойчивого будущего;
4) эстетического воспитания:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических закономерностей, объектов,
задач, решений, рассуждений, восприимчивость к математическим аспектам различных видов искусства;
5) физического воспитания:
сформированность умения применять математические знания в интересах здорового и безопасного
образа жизни, ответственное отношение к своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим
занятий и отдыха, регулярная физическая активность), физическое совершенствование при занятиях
спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудового воспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к различным сферам
профессиональной деятельности, связанным с математикой и её приложениями, умение совершать
осознанный выбор будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы, готовность и
способность к математическому образованию и самообразованию на протяжении всей жизни, готовность
к активному участию в решении практических задач математической направленности;
7) экологического воспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния социально-экономических
процессов на состояние природной и социальной среды, осознание глобального характера экологических
проблем, ориентация на применение математических знаний для решения задач в области окружающей
среды, планирование поступков и оценки их возможных последствий для окружающей среды;
8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и
общественной практики, понимание математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов
её развития и значимости для развития цивилизации, овладение языком математики и математической
культурой как средством познания мира, готовность осуществлять проектную и исследовательскую
деятельность индивидуально и в группе.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу 10 класса обучающийся научится:
свободно оперировать понятиями: граф, плоский граф, связный граф, путь в графе, цепь, цикл,
дерево, степень вершины, дерево случайного эксперимента;
свободно оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт), случайное событие,
элементарное случайное событие (элементарный исход) случайного опыта, находить вероятности
событий в опытах с равновозможными элементарными событиями;
находить и формулировать события: пересечение, объединение данных событий, событие,
противоположное данному, использовать диаграммы Эйлера, координатную прямую для решения задач,
пользоваться формулой сложения вероятностей для вероятностей двух и трех случайных событий;
оперировать понятиями: условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события,
дерево случайного эксперимента, находить вероятности событий с помощью правила умножения, дерева
случайного опыта, использовать формулу полной вероятности, формулу Байеса при решении задач,
определять независимость событий по формуле и по организации случайного эксперимента;
применять изученные комбинаторные формулы для перечисления элементов множеств,
элементарных событий случайного опыта, решения задач по теории вероятностей;
свободно оперировать понятиями: бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача,
независимые испытания, серия испытаний, находить вероятности событий: в серии испытаний до первого
успеха, в серии испытаний Бернулли, в опыте, связанном со случайным выбором из конечной
совокупности;
свободно оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма
распределения, бинарная случайная величина, геометрическое, биномиальное распределение.
К концу 11 класса обучающийся научится:
оперировать понятиями: совместное распределение двух случайных величин, использовать таблицу
совместного распределения двух случайных величин для выделения распределения каждой величины,
определения независимости случайных величин;
свободно оперировать понятием математического ожидания случайной величины (распределения),
применять свойства математического ожидания при решении задач, вычислять математическое ожидание
биномиального и геометрического распределений;
свободно оперировать понятиями: дисперсия, стандартное отклонение случайной величины,
применять свойства дисперсии случайной величины (распределения) при решении задач, вычислять
дисперсию и стандартное отклонение геометрического и биномиального распределений;
вычислять выборочные характеристики по данной выборке и оценивать характеристики
генеральной совокупности данных по выборочным характеристикам. Оценивать вероятности событий и
проверять простейшие статистические гипотезы, пользуясь изученными распределениями.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий,
отношений между понятиями, формулировать определения понятий, устанавливать существенный
признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные,
единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных,
наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений,
умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и от противного),
выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры, обосновывать собственные суждения
и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать
наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания, формулировать вопросы,
фиксирующие противоречие, проблему, устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу,
аргументировать свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по установлению
особенностей математического объекта, явления, процесса, выявлению зависимостей между объектами,
явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого наблюдения,
исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его развитии в
новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать, систематизировать и
интерпретировать информацию различных видов и форм представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах, иллюстрировать графически;
оценивать надёжность информации по самостоятельно сформулированным критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения, ясно,
точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу
решения задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой задачи,
высказывать идеи, нацеленные на поиск решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других
участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме формулировать
разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта, самостоятельно
выбирать формат выступления с учётом задач презентации и особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учётом имеющихся
ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом
новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и
мыслительных процессов, их результатов, владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и
результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в
деятельность на основе новых обстоятельств, данных, найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины достижения или
недостижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении
учебных задач, принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной работы,
распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения
нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые штурмы» и иные),
выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими членами команды, оценивать
качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным участниками
взаимодействия.
Перечень (кодификатор) проверяемых
требований к метапредметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
Код
проверяемого
требования
1
1.1
Проверяемые требования к метапредметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего образования
Познавательные универсальные учебные действия (далее - УУД)
Базовые логические действия
1.1.1
Устанавливать существенный признак или основания для сравнения,
классификации и обобщения
1.1.2
Выявлять
явлениях
закономерности
и противоречия
в рассматриваемых
1.1.3
Самостоятельно формулировать и актуализировать проблему,
рассматривать ее всесторонне;
определять цели деятельности, задавать параметры и критерии их
достижения
1.1.4
Вносить коррективы в деятельность, оценивать соответствие
результатов целям, оценивать риски последствий деятельности
1.1.5
Развивать креативное мышление при решении жизненных проблем
1.2
Базовые исследовательские действия
1.2.1
Владеть
навыками
учебно-исследовательской
деятельности, навыками разрешения проблем
и
проектной
1.2.2
Овладение видами деятельности по получению нового знания, его
интерпретации, преобразованию и применению в различных учебных
ситуациях, в том числе при создании учебных и социальных проектов
1.2.3
Формирование научного типа мышления, владение
терминологией, ключевыми понятиями и методами
1.2.4
Выявлять причинно-следственные связи и актуализировать задачу,
выдвигать гипотезу ее решения, находить аргументы для
доказательства своих утверждений, задавать параметры и критерии
решения
1.2.5
Анализировать полученные в ходе решения задачи результаты,
критически оценивать их достоверность, прогнозировать изменение в
новых условиях
научной
1.2.6
Уметь переносить знания в познавательную и практическую области
жизнедеятельности;
уметь интегрировать знания из разных предметных областей;
осуществлять целенаправленный поиск переноса средств и способов
действия в профессиональную среду
1.2.7
Способность и готовность к самостоятельному поиску методов
решения практических задач, применению различных методов
познания;
ставить и формулировать собственные задачи в образовательной
деятельности и жизненных ситуациях;
ставить проблемы и задачи, допускающие альтернативные решения;
выдвигать новые идеи, предлагать оригинальные подходы и решения;
разрабатывать план решения проблемы с учетом анализа имеющихся
материальных и нематериальных ресурсов
1.3
Работа с информацией
1.3.1
Владеть навыками получения информации из источников разных
типов, самостоятельно осуществлять поиск, анализ, систематизацию и
интерпретацию информации различных видов и форм представления
1.3.2
Создавать тексты в различных форматах с учетом назначения
информации и целевой аудитории, выбирая оптимальную форму
представления и визуализации
1.3.3
Оценивать
достоверность,
легитимность
информации,
соответствие правовым и морально-этическим нормам
1.3.4
Использовать средства информационных и коммуникационных
технологий в решении когнитивных, коммуникативных и
организационных задач с соблюдением требований эргономики,
техники безопасности, гигиены, ресурсосбережения, правовых и
этических норм, норм информационной безопасности
1.3.5
Владеть навыками распознавания и
информационной безопасности личности
2
2.1
защиты
ее
информации,
Коммуникативные УУД
Общение
2.1.1
Осуществлять коммуникации во всех сферах жизни;
владеть различными способами общения и взаимодействия
2.1.2
Развернуто и логично излагать свою точку зрения с использованием
языковых средств
Тематическое планирование по учебному предмету «Вероятность и статистика»
10 класс
№
урок
а п/п
Тема
Количество
академическ
их часов
Виды
деятельности
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
Раздел 1. Элементы теории графов, 3 часа. КР-нет, ПР-нет
Представлять
Граф, связный
объекты и связи
граф,
между ними с
1
представление
1
помощью графа,
задачи с
находить пути
помощью графа
между
Степень
(валентность)
вершины. Путь в
графе. Цепи и
циклы
вершинами
графа.
Выделять в
2
1
графе цепи
и циклы.
Строить
дерево по
описанию
случайного
опыта,
Графы на
описывать
плоскости.
случайные
3
Дерево
1
события в
случайного
терминах
эксперимента
дерева.
Решать задачи с
помощью
графов
Раздел 2. Случайные опыты, случайные события и вероятности случайных
событий, 3 часа. КР- нет, ПР-нет.
4
Случайные
эксперименты
(опыты) и
случайные
события.
Элементарные
события
(исходы)
1
5
Вероятность
случайного
1
Выделять и
описывать
случайные
события в
случайном
опыте.
Формулировать
условия
проведения
случайного
опыта.
https://resh.edu.ru/subject/
51/
https://resh.edu.ru/subject/
51/
Находить
вероятности
событий в
опытах с
равновозможны
ми
элементарными
исходами
события.
Вероятности
событий в
опытах с
равновозможны
ми
элементарными
событиями
6
Вероятность
случайного
события.
Вероятности
событий в
опытах с
равновозможны
ми
элементарными
событиями
1
Раздел 3. Операции над множествами и событиями. Сложение и умножение
вероятностей. Условная вероятность. Независимые события. 5 часов. КР-нет, ПРнет.
7
Пересечение,
объединение
множеств и
событий,
противоположн
ые события.
Формула
сложения
вероятностей
1
8
Условная
вероятность.
Умножение
вероятностей.
Формула
условной
вероятности
1
9
Условная
вероятность.
Умножение
вероятностей.
1
Использовать
диаграммы
Эйлера и
вербальное
описание
событий при
выполнении
операций над
событиями.
Оценивать
изменение
вероятностей
событий по мере
наступления
других событий
в случайном
опыте. Решать
задачи, в том
числе с
использованием
дерева
случайного
опыта, формул
https://resh.edu.ru/subject/
51/
https://resh.edu.ru/subject/
51/
сложения и
умножения
вероятностей
Формула
условной
вероятности
10
Формула полной
вероятности
1
11
Формула Байеса.
Независимые
события
1
Раздел 4. Элементы комбинаторики, 4 часа. КР -1, ПР –нет.
Формулировать
Комбинаторное
и доказывать
правило
комбинаторные
12
умножения.
1
факты.
Перестановки и
Использовать
факториал
правило
Число
умножения,
изученные
сочетаний.
13
1
комбинаторные
Треугольник
формулы для
Паскаля
перечисления
Формула бинома
элементов
14
1
Ньютона
различных
множеств, в том
числе
элементарных
событий в
случайном
опыте.
Контрольная
Пользоваться
работа №1:
формулой и
"Графы,
треугольником
15
1
Паскаля для
вероятности,
определения
множества,
числа
комбинаторика"
сочетаний.
Применять
формулу бинома
Ньютона для
преобразования
выражений
Раздел 5. Серии последовательных испытаний. Испытания Бернулли. Случайный
выбор из конечной совокупности, 5 часов. КР-нет, ПР-1.
16
Бинарный
случайный опыт
(испытание),
1
Разбивать
сложные
эксперименты
https://media.prosv.ru/ege/
успех и неудача.
Независимые
испытания.
Серия
независимых
испытаний до
первого успеха
17
Серия
независимых
испытаний до
первого успеха
1
18
Серия
независимых
испытаний
Бернулли
1
19
Случайный
выбор из
конечной
совокупности
1
20
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
1
на отдельные
испытания.
Решать задачи
на поиск
вероятностей
событий в серии
испытаний до
первого успеха и
в сериях
испытаний
Бернулли, а
также в опытах
со случайным
выбором из
конечной
совокупности с
использованием
комбинаторных
фактов и
формул, в том
числе в ходе
практической
работы с
применением
стандартных
функций
Раздел 6. Случайные величины и распределения, 14 часов. КР- 1, ПР – 1.
21
Случайная
величина.
Распределение
вероятностей.
Диаграмма
распределения
1
22
Операции над
случайными
величинами.
Примеры
распределений.
Бинарная
случайная
величина
1
Осваивать
понятия:
случайная
величина,
распределение,
таблица
распределения,
диаграмма
распределения.
Находить
значения суммы
и произведения
случайных
величин.
Строить
бинарные
https://media.prosv.ru/ege/
23
Геометрическое
распределение.
Биномиальное
распределение
1
24
Математическое
ожидание
случайной
величины.
Совместное
распределение
двух случайных
величин
1
25
Независимые
случайные
величины.
Свойства
математическог
о ожидания.
Математическое
ожидание
бинарной
случайной
величины
1
26
Математическое
ожидание
геометрического
и
биномиального
распределений
1
27
Дисперсия и
стандартное
отклонение
1
28
Дисперсия
бинарной
случайной
величины.
Свойства
дисперсии
1
29
Математическое
ожидание
произведения и
1
распределения
по описанию
событий в
случайных
опытах. Строить
и распознавать
геометрическое
и биномиальное
распределения.
Решать задачи
на вычисление
математическог
о ожидания.
Строить
совместные
распределения.
Изучать
свойства
математическог
о ожидания.
Решать задачи с
помощью
изученных
свойств.
По изученным
формулам
находить
математические
ожидания
случайных
величин,
имеющих
геометрическое
и биномиальное
распределения
Осваивать
понятия:
дисперсия,
стандартное
отклонение
случайной
величины.
Находить
дисперсию по
распределению.
Изучать
свойства
дисперсии. По
https://media.prosv.ru/ege/
дисперсия
суммы
независимых
случайных
величин
30
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
1
31
Дисперсия
биномиального
распределения.
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
1
32
Обобщение и
систематизация
знаний
1
33
Контрольная
работа №2:
"Испытания
Бернулли.
Случайные
величины и
распределения"
1
34
Обобщение и
систематизация
знаний
1
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
34
изученным
формулам
находить
дисперсию
биномиального
распределения, в
том числе в ходе
практической
работы
https://media.prosv.ru/ege/
11 КЛАСС
№
урок
а п/п
Тема
Количество
академически
х часов
Виды
деятельности
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
Раздел 1. Закон больших чисел, 5 часов. КР-нет, ПР- 1.
1
Неравенство
Чебышева.
Теорема
Чебышева.
Теорема Бернулли.
Закон больших
чисел
1
2
Неравенство
Чебышева.
Теорема
Чебышева.
Теорема Бернулли.
Закон больших
чисел
1
3
Неравенство
Чебышева.
Теорема
Чебышева.
Теорема Бернулли.
Закон больших
чисел
1
4
Выборочный
метод
исследований
1
5
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
1
Разбирать
доказательства
теорем.
Осваивать
выборочный
метод
исследований,
в том числе в
ходе
практической
работы
Раздел 2. Элементы математической статистики, 6 часов. КР – нет, ПР – 1.
6
Генеральная
совокупность и
случайная
выборка.
1
Осваивать
понятия:
генеральная
совокупность,
Знакомство с
выборочными
характеристиками.
Оценка среднего и
дисперсии
генеральной
совокупности с
помощью
выборочных
характеристик
7
Генеральная
совокупность и
случайная
выборка.
Знакомство с
выборочными
характеристиками.
Оценка среднего и
дисперсии
генеральной
совокупности с
помощью
выборочных
характеристик
1
8
Оценивание
вероятностей
событий по
выборке
1
9
Статистическая
гипотеза. Проверка
простейших
гипотез с
помощью свойств
изученных
распределений
1
10
Статистическая
гипотеза. Проверка
простейших
гипотез с
помощью свойств
1
выборка,
выборочное
среднее и
выборочная
дисперсия.
Вычислять
выборочные
характеристик
и и на их
основе
оценивать
характеристик
и генеральной
совокупности.
Осваивать
понятия:
статистическая
гипотеза.
Оценивать
вероятность
событий и
проверять
простейшие
гипотезы на
основе
выборочных
данных, в том
числе в ходе
практической
работы
изученных
распределений
11
Практическая
работа с
использованием
электронных
таблиц
1
Раздел 3. Непрерывные и случайные величины (распределения), показательное и
нормальное распределения, 4 часа. КР-нет, ПР-нет.
12
Примеры
непрерывных
случайных
величин. Функция
плотности
вероятности
1
13
Равномерное
распределение.
Примеры задач,
приводящих к
показательному и
к нормальному
распределениям
1
14
Функция
плотности
вероятности
показательного
распределения
1
15
Функция
плотности
вероятности
нормального
распределения
1
Знакомиться
понятиями:
непрерывная
случайная
величина,
непрерывное
распределение,
функция
плотности
вероятности.
Находить
вероятности
событий по
данной
функции
плотности.
Знакомиться с
понятиями:
показательное
распределение,
нормальное
распределение.
Выделять по
описанию
случайные
величины,
распределенны
е по
показательном
у закону, по
нормальному
закону.
Разбирать
примеры
задач,
приводящих к
показательном
у
распределению
ик
нормальному
распределению
Раздел 4. Распределение Пуассона, 2 часа. КР – нет, ПР – 1.
Выделять по
Последовательност
описанию
ь одиночных
случайного
независимых
опыта
событий. Пример
величины,
16
1
задачи,
распределенны
приводящей к
е по закону
распределению
Пуассона.
Решать задачи,
Пуассона
в том числе в
ходе
Практическая
практической
работа с
работы с
применением
17
использованием
1
стандартных
электронных
функций
таблиц
электронных
таблиц
Раздел 5. Связь между случайными величинами, 6 часов. КР – нет, ПР – 1.
18
Ковариация двух
случайных
величин.
Коэффициент
корреляции
1
19
Совместные
наблюдения двух
величин
1
20
Выборочный
коэффициент
корреляции
1
21
Различие между
линейной связью и
причинноследственной
связью
1
22
Линейная
регрессия
1
Осваивать
понятия:
ковариация,
коэффициент
корреляции,
линейная
зависимость.
Оценивать
характер связи
между
случайными
величинами,
исходя из
природы
данных и
вычисленных
характеристик.
Использовать
диаграммы
рассеивания
для
изображения
совместного
рассеивания
данных.
Находить
Практическая
коэффициенты
работа с
оси
23
использованием
1
диаграммы, в
том числе в
электронных
ходе
таблиц
практической
работы с
применением
стандартных
функций
Раздел 6. Обобщение и систематизация знаний, 10 часов. КР – 1, ПР – нет.
24
Представление
данных с помощью
таблиц и
диаграмм,
описательная
статистика
1
25
Опыты с
равновозможными
элементарными
событиями
1
26
Вычисление
вероятностей
событий с
применением
формул
1
27
Вычисление
вероятностей
событий с
применением
графических
методов:
координатная
прямая, дерево,
диаграмма Эйлера
1
28
Случайные
величины и
распределения
1
Повторять
изученное и
выстраивать
систему знаний
29
Математическое
ожидание
случайной
величины
1
30
Математическое
ожидание
случайной
величины
1
31
Контрольная
работа:
"Вероятность и
статистика"
1
32
Вычисление
вероятностей
событий с
применением
формул и
графических
методов
1
33
Случайные
величины и
распределения.
Математическое
ожидание
случайной
величины
1
34
Случайные
величины и
распределения.
Математическое
ожидание
случайной
величины
1
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
33
https://media.prosv.ru/eg
e/
4
0
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
10 КЛАСС
Код
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
проверяемого
программы среднего общего образования
результата
6
Теория вероятностей и статистика
6.1
6.2
Читать и строить таблицы и диаграммы
Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее,
наименьшее значение, размах массива числовых данных
Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное событие,
6.3
элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта; находить
вероятности в опытах с равновозможными случайными событиями, находить
и сравнивать вероятности событий в изученных случайных экспериментах
Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных
6.4
событий,
событие,
противоположное
данному
событию;
пользоваться
диаграммами Эйлера и формулой сложения вероятностей при решении задач
Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события; находить
6.5
вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного
опыта
6.6
Применять комбинаторное правило умножения при решении задач
Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия испытаний,
6.7
успех и неудача; находить вероятности событий в серии независимых испытаний
до первого успеха, находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли
6.8
11 КЛАСС
Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей,
диаграмма распределения
Код
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
проверяемого
программы среднего общего образования
результата
5
Теория вероятностей и статистика
5.1
Сравнивать
вероятности
значений
случайной
величины
по распределению или с помощью диаграмм
Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры того, как
5.2
применяется
математическое
ожидание
случайной
величины,
находить
математическое ожидание по данному распределению
5.3
Иметь представление о законе больших чисел
5.4
Иметь представление о нормальном распределении
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
10 КЛАСС
Код
6
Проверяемый элемент содержания
Теория вероятностей и статистика
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее арифметическое, медиана,
6.1
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия и стандартное отклонение
числовых наборов
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные события (исходы).
6.2
Вероятность
случайного
события.
Близость
частоты
и вероятности событий. Случайные опыты с равновозможными элементарными
событиями.
Вероятности
событий
в
опытах
с равновозможными элементарными событиями
6.3
6.4
6.5
6.6
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события. Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента. Формула полной вероятности. Независимые события
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые испытания. Серия
независимых испытаний до первого успеха. Серия независимых испытаний Бернулли
Код
Проверяемый элемент содержания
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения. Примеры
6.7
распределений,
в
том
числе
геометрическое
и биномиальное
11 КЛАСС
Код
5
Проверяемый элемент содержания
Теория вероятностей и статистика
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия
и стандартное отклонение. Примеры применения математического ожидания, в том
5.1
числе в задачах из повседневной жизни. Математическое ожидание бинарной
случайной величины. Математическое ожидание суммы случайных величин.
Математическое
ожидание
и
дисперсия
геометрического
и
биномиального
распределений
5.2
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный метод
исследований
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности распределения.
5.3
Задачи, приводящие к нормальному распределению. Понятие о нормальном
распределении
ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ
ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО
ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код проверяемого
требования
1
2
3
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение
формулировать и оперировать понятиями: определение, аксиома,
теорема, следствие, свойство, признак, доказательство, равносильные
формулировки; применять их; умение формулировать обратное и
противоположное утверждение, приводить примеры и контрпримеры,
использовать
метод
математической
индукции;
проводить
доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую
правильность рассуждений; умение оперировать понятиями: множество,
подмножество, операции над множествами; умение использовать
теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов
и явлений и при решении задач, в том числе из других учебных
предметов; умение оперировать понятиями: граф, связный граф, дерево,
цикл, граф на плоскости; умение задавать и описывать графы
различными способами; использовать графы при решении задач
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число,
степень с целым показателем, корень натуральной степени, степень с
рациональным показателем, степень с действительным показателем,
логарифм числа, синус, косинус и тангенс произвольного числа, остаток
по модулю, рациональное число, иррациональное число, множества
натуральных, целых, рациональных, действительных чисел; умение
использовать признаки делимости, наименьший общий делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида при решении задач;
знакомство с различными позиционными системами счисления; умение
выполнять вычисление значений и преобразования выражений со
степенями и логарифмами, преобразования дробно-рациональных
выражений; умение оперировать понятиями: последовательность,
арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, бесконечно
убывающая
геометрическая
прогрессия;
умение
задавать
последовательности, в том числе с помощью рекуррентных формул;
умение оперировать понятиями: комплексное число, сопряжённые
комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа, форма
записи комплексных чисел (геометрическая, тригонометрическая
и алгебраическая); уметь производить арифметические действия с
комплексными
числами;
приводить
примеры
использования
комплексных чисел; оперировать понятиями: матрица 2×2 и 3×3,
определитель матрицы, геометрический смысл определителя
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические
Код проверяемого
требования
4
5
6
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать понятиями:
тождество, тождественное преобразование, уравнение, неравенство,
система уравнений и неравенств, равносильность уравнений, неравенств
и систем; умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью
различных приёмов; решать уравнения, неравенства и системы с
параметром; применять уравнения, неравенства, их системы для
решения математических задач и задач из различных областей науки и
реальной жизни
Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции,
периодичность функции, ограниченность функции, монотонность
функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика
функции, первая и вторая производная функции, геометрический и
физический смысл производной, первообразная, определённый
интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение
вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции
функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение
находить производные элементарных функций; умение использовать
производную для исследования функций, находить наибольшие и
наименьшие значения функций; строить графики многочленов с
использованием аппарата математического анализа; применять
производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том
числе социально-экономических и физических задачах; находить
площади и объёмы фигур с помощью интеграла; приводить примеры
математического моделирования с помощью дифференциальных
уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция,
композиция функций, линейная функция, квадратичная функция,
рациональная функция, степенная функция, тригонометрические
функции, обратные тригонометрические функции, показательная и
логарифмическая функции; умение строить графики изученных
функций, выполнять преобразования графиков функций, использовать
графики для изучения процессов и зависимостей, при решении задач из
других
учебных
предметов
и задач из реальной жизни; выражать формулами зависимости между
величинами; использовать свойства и графики функций для решения
уравнений, неравенств и задач с параметрами; изображать на
координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств и
их систем
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на
проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и услуг,
налоги, задачи из области управления личными и семейными
Код проверяемого
требования
7
8
9
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их
системы по условию задачи, исследовать полученное решение и
оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать
реальные ситуации на языке математики; составлять выражения,
уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать
построенные
модели
с использованием
аппарата
алгебры,
интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках,
отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять
информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать
статистические данные, в том числе с применением графических
методов и электронных средств; графически исследовать совместные
наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное событие,
вероятность случайного события; умение вычислять вероятность с
использованием графических методов; применять формулы сложения и
умножения вероятностей, формулу полной вероятности, формулу
Бернулли, комбинаторные факты и формулы; оценивать вероятности
реальных событий; умение оперировать понятиями: случайная
величина, распределение вероятностей, математическое ожидание,
дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, функции
распределения и плотности равномерного, показательного и нормального распределений; умение использовать свойства изученных
распределений для решения задач; знакомство с понятиями: закон
больших чисел, методы выборочных исследований; умение приводить
примеры проявления закона больших чисел в природных и
общественных явлениях; умение оперировать понятиями: сочетание,
перестановка, число сочетаний, число перестановок; бином Ньютона;
умение применять комбинаторные факты и рассуждения для решения
задач; оценивать вероятности реальных событий; составлять
вероятностную модель и интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость,
пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный
угол, трёхгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и
перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми, угол
между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, расстояние от
точки до плоскости, расстояние между прямыми, расстояние между
плоскостями; умение использовать при решении задач изученные факты
Код проверяемого
требования
10
11
12
13
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
и теоремы планиметрии; умение оценивать размеры объектов окружающего мира; строить математические модели с помощью
геометрических понятий и величин, решать связанные с ними
практические задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объём фигуры,
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника, куб,
параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность вращения,
цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь поверхности
пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объём куба, прямоугольного
параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара, развёртка
поверхности, сечения конуса и цилиндра, параллельные оси или
основанию, сечение шара, плоскость, касающаяся сферы, цилиндра,
конуса; умение строить сечение многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности вращения, их сечения, в том числе с
помощью электронных средств; умение применять свойства
геометрических фигур, самостоятельно формулировать определения
изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о свойствах и признаках
геометрических
фигур,
обосновывать
или опровергать их; умение проводить классификацию фигур по
различным признакам, выполнять необходимые дополнительные
построения
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве,
параллельный перенос, симметрия на плоскости и в пространстве,
поворот, преобразование подобия, подобные фигуры; умение
распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе,
искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения при
решении задач; находить геометрические величины (длина, угол,
площадь, объём) при решении задач из других учебных предметов и из
реальной жизни; умение вычислять геометрические величины (длина,
угол, площадь, объём, площадь поверхности), используя изученные
формулы и методы, в том числе: площадь поверхности пирамиды,
призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объём куба, прямоугольного
параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара; умение
находить отношение объёмов подобных фигур
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат,
вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов,
произведение вектора на число, разложение вектора по базису,
скалярное произведение, векторное произведение, угол между
векторами; умение использовать векторный и координатный метод для
решения геометрических задач и задач других учебных предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание
значимости математики в изучении природных и общественных
Код проверяемого
требования
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
процессов и явлений; умение распознавать проявление законов
математики в искусстве, умение приводить примеры математических
открытий российской и мировой математической науки
ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ЕГЭ ПО
МАТЕМАТИКЕ
Код
Проверяемый элемент содержания
1 Числа и вычисления
1.1 Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные
1.2
периодические дроби
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими кор1.3
нями натуральной степени
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства
1.4
степени
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс
1.5
числового аргумента
1.6 Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами.
1.7 Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата
вычислений
1.8 Преобразование выражений
1.9 Комплексные числа
2 Уравнения и неравенства
2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения
2.2 Иррациональные уравнения
2.3 Тригонометрические уравнения
2.4 Показательные и логарифмические уравнения
2.5 Целые и дробно-рациональные неравенства
2.6 Иррациональные неравенства
2.7 Показательные и логарифмические неравенства
2.8 Тригонометрические неравенства
2.9 Системы и совокупности уравнений и неравенств
2.10 Уравнения, неравенства и системы с параметрами
2.11 Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
3 Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции.
3.1
Чётные и нечётные функции. Периодические функции
Код
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
4
4.1
4.2
4.3
5
5.1
5.2
6
6.1
6.2
6.3
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Проверяемый элемент содержания
Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки
знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы
функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства
и график. Свойства и график корня n-ой степени
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций, непрерывных на
отрезке
Последовательности, способы задания последовательностей
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
Начала математического анализа
Производная функции. Производные элементарных функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Первообразная. Интеграл
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
Логика
Вероятность и статистика
Описательная статистика
Вероятность
Комбинаторика
Геометрия
Фигуры на плоскости
Прямые и плоскости в пространстве
Многогранники
Тела и поверхности вращения
Координаты и векторы
