ПРИЛОЖЕНИЕ
к основной образовательной программе
среднего общего образования,
уровень образования
утверждённой приказом директора
МАОУ-Гимназии № 45,
Приказ №101/2-од от 29.08.2025
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ
«ГЕОМЕТРИЯ»
(базовый уровень)
г. Екатеринбург, 2025
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА
10 КЛАСС
Прямые и плоскости в пространстве
Основные понятия стереометрии. Точка, прямая, плоскость, пространство. Понятие
об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них.
Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и
скрещивающиеся прямые. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве:
параллельные прямые в пространстве; параллельность трёх прямых; параллельность
прямой и плоскости. Углы с сонаправленными сторонами; угол между прямыми в
пространстве. Параллельность плоскостей: параллельные плоскости; свойства
параллельных плоскостей. Простейшие пространственные фигуры на плоскости: тетраэдр,
куб, параллелепипед; построение сечений.
Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в
пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак
перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной плоскости.
Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью; двугранный угол, линейный угол
двугранного угла. Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости,
расстояние от прямой до плоскости, проекция фигуры на плоскость. Перпендикулярность
плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема о трёх
перпендикулярах.
Многогранники
Понятие многогранника, основные элементы многогранника, выпуклые и
невыпуклые многогранники; развёртка многогранника. Призма: n-угольная призма; грани
и основания призмы; прямая и наклонная призмы; боковая и полная поверхность призмы.
Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и его свойства. Пирамида: n-угольная
пирамида, грани и основание пирамиды; боковая и полная поверхность пирамиды;
правильная и усечённая пирамида. Элементы призмы и пирамиды. Правильные
многогранники: понятие правильного многогранника; правильная призма и правильная
пирамида; правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр; куб. Представление о
правильных многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Сечения призмы и пирамиды.
Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки, прямой, плоскости.
Элементы симметрии в пирамидах, параллелепипедах, правильных многогранниках.
Вычисление элементов многогранников: рёбра, диагонали, углы. Площадь боковой
поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь оснований, теорема о боковой
поверхности прямой призмы. Площадь боковой поверхности и поверхности правильной
пирамиды, теорема о площади усечённой пирамиды. Понятие об объёме. Объём пирамиды,
призмы.
Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей,
объёмами подобных тел.
11 КЛАСС
Тела вращения
Цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности, ось
цилиндрической поверхности. Цилиндр: основания и боковая поверхность, образующая и
ось; площадь боковой и полной поверхности.
Коническая поверхность, образующие конической поверхности, ось и вершина
конической поверхности. Конус: основание и вершина, образующая и ось; площадь
боковой и полной поверхности. Усечённый конус: образующие и высота; основания и
боковая поверхность.
Сфера и шар: центр, радиус, диаметр; площадь поверхности сферы. Взаимное
расположение сферы и плоскости; касательная плоскость к сфере; площадь сферы.
Изображение тел вращения на плоскости. Развёртка цилиндра и конуса.
Комбинации тел вращения и многогранников. Многогранник, описанный около
сферы; сфера, вписанная в многогранник, или тело вращения.
Понятие об объёме. Основные свойства объёмов тел. Теорема об объёме
прямоугольного параллелепипеда и следствия из неё. Объём цилиндра, конуса. Объём шара
и площадь сферы.
Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей,
объёмами подобных тел.
Сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса
(параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара.
Векторы и координаты в пространстве
Вектор на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение
вектора на число. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Правило
параллелепипеда. Решение задач, связанных с применением правил действий с векторами.
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Простейшие
задачи в координатах. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Вычисление углов между прямыми и плоскостями. Координатно-векторный метод при
решении геометрических зад
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного предмета «Математика» характеризуются:
Гражданское воспитание:
сформированностью гражданской позиции обучающегося как активного и ответственного члена
российского общества, представлением о математических основах функционирования различных
структур, явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и пр.), умением взаимодействовать
с социальными институтами в соответствии с их функциями и назначением.
Патриотическое воспитание:
сформированностью российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и настоящему
российской математики, ценностным отношением к достижениям российских математиков и российской
математической школы, к использованию этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики.
Духовно-нравственного воспитания:
осознанием духовных ценностей российского народа; сформированностью нравственного
сознания, этического поведения, связанного с практическим применением достижений науки и
деятельностью учёного; осознанием личного вклада в построение устойчивого будущего.
Эстетическое воспитание:
эстетическим отношением к миру, включая эстетику математических закономерностей, объектов,
задач, решений, рассуждений; восприимчивостью к математическим аспектам различных видов
искусства.
Физическое воспитание:
сформированностью умения применять математические знания в интересах здорового и
безопасного образа жизни, ответственного отношения к своему здоровью (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность); физического
совершенствования, при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью.
Трудовое воспитание:
готовностью к труду, осознанием ценности трудолюбия; интересом к различным сферам
профессиональной деятельности, связанным с математикой и её приложениями, умением совершать
осознанный выбор будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы; готовностью и
способностью к математическому образованию и самообразованию на протяжении всей жизни;
готовностью к активному участию в решении практических задач математической направленности.
Экологическое воспитание:
сформированностью экологической культуры, пониманием влияния социально-экономических
процессов на состояние природной и социальной среды, осознанием глобального характера
экологических проблем; ориентацией на применение математических знаний для решения задач в
области окружающей среды, планирования поступков и оценки их возможных последствий для
окружающей среды.
Ценности научного познания:
сформированностью мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и
общественной практики, пониманием математической науки как сферы человеческой деятельности,
этапов её развития и значимости для развития цивилизации; овладением языком математики и
математической культурой как средством познания мира; готовностью осуществлять проектную и
исследовательскую деятельность индивидуально и в группе.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
10 КЛАСС
Оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость.
Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении геометрических задач.
Оперировать понятиями: параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей.
Классифицировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Оперировать понятиями: двугранный угол, грани двугранного угла, ребро двугранного угла;
линейный угол двугранного угла; градусная мера двугранного угла.
Оперировать понятиями: многогранник, выпуклый и невыпуклый многогранник, элементы
многогранника, правильный многогранник.
Распознавать основные виды многогранников (пирамида; призма, прямоугольный параллелепипед,
куб).
Классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации (выпуклые и
невыпуклые многогранники; правильные многогранники; прямые и наклонные призмы,
параллелепипеды).
Оперировать понятиями: секущая плоскость, сечение многогранников.
Объяснять принципы построения сечений, используя метод следов.
Строить сечения многогранников методом следов, выполнять (выносные) плоские чертежи из
рисунков простых объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу.
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя
известные аналитические методы при решении стандартных математических задач на вычисление
расстояний между двумя точками, от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися
прямыми.
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя
известные аналитические методы при решении стандартных математических задач на вычисление углов
между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями, двугранных
углов.
Вычислять объёмы и площади поверхностей многогранников (призма, пирамида) с применением
формул; вычислять соотношения между площадями поверхностей, объёмами подобных многогранников.
Оперировать понятиями: симметрия в пространстве; центр, ось и плоскость симметрии; центр, ось
и плоскость симметрии фигуры.
Извлекать, преобразовывать и интерпретировать информацию о пространственных геометрических
фигурах, представленную на чертежах и рисунках.
Применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих
несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной форме.
Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при
решении стереометрических задач.
Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни, распознавать
проявление законов геометрии в искусстве.
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и применять
изученные понятия в процессе поиска решения математически сформулированной проблемы,
моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с
использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи,
связанные с нахождением геометрических величин.
11 КЛАСС
Оперировать понятиями: цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности;
цилиндр; коническая поверхность, образующие конической поверхности, конус; сферическая
поверхность.
Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар).
Объяснять способы получения тел вращения.
Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости.
Оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сегмента, высота сегмента; шаровой слой,
основание шарового слоя, высота шарового слоя; шаровой сектор.
Вычислять объёмы и площади поверхностей тел вращения, геометрических тел с применением
формул.
Оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу и описанный около сферы; сфера,
вписанная в многогранник или тело вращения.
Вычислять соотношения между площадями поверхностей и объёмами подобных тел.
Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых чертёжных инструментов.
Выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объёмных фигур: вид сверху, сбоку,
снизу; строить сечения тел вращения.
Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о пространственных геометрических
фигурах, представленную на чертежах и рисунках.
Оперировать понятием вектор в пространстве.
Выполнять действия сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на число,
объяснять, какими свойствами они обладают.
Применять правило параллелепипеда.
Оперировать понятиями: декартовы координаты в пространстве, вектор, модуль вектора, равенство
векторов, координаты вектора, угол между векторами, скалярное произведение векторов, коллинеарные
и компланарные векторы.
Находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол между векторами, скалярное
произведение, раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам.
Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат.
Применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих
несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной форме.
Решать простейшие геометрические задачи на применение векторно-координатного метода.
Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических
величин по образцам или алгоритмам, применяя известные методы при решении стандартных
математических задач.
Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при
решении стереометрических задач.
Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни, распознавать
проявление законов геометрии в искусстве.
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и применять
изученные понятия в процессе поиска решения математически сформулированной проблемы,
моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с
использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи,
связанные с нахождением геометрических величин.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Метапредметные результаты освоения программы учебного предмета «Математика»
характеризуются овладением универсальными познавательными действиями, универсальными
коммуникативными действиями, универсальными регулятивными действиями.
1) Универсальные познавательные действия, обеспечивают формирование базовых когнитивных
процессов обучающихся (освоение методов познания окружающего мира; применение логических,
исследовательских операций, умений работать с информацией).
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий,
отношений между понятиями; формулировать определения понятий; устанавливать
существенный признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии
проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные,
единичные, частные и общие; условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных,
наблюдениях и утверждениях; предлагать критерии для выявления закономерностей и
противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений,
умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры; обосновывать
собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать
наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания; формулировать вопросы,
фиксирующие противоречие, проблему, устанавливать искомое и данное, формировать
гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по установлению
особенностей математического объекта, явления, процесса, выявлению зависимостей между
объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого наблюдения,
исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его развитии
в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для решения
задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать, систематизировать и
интерпретировать информацию различных видов и форм представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах, иллюстрировать
графически;
оценивать надёжность информации по самостоятельно сформулированным критериям.
2) Универсальные коммуникативные действия, обеспечивают сформированность социальных
навыков обучающихся.
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения; ясно,
точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения
по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой
задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с
суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций; в
корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта;
самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач презентации и особенностей
аудитории.
Сотрудничество:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении
учебных задач; принимать цель совместной деятельности, планировать организацию
совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат
работы; обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые штурмы» и
иные); выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими членами
команды; оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным
участниками взаимодействия.
3) Универсальные регулятивные действия, обеспечивают формирование смысловых установок и
жизненных навыков личности.
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учётом имеющихся
ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений
с учётом новой информации.
Самоконтроль:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и
мыслительных процессов, их результатов; владеть способами самопроверки, самоконтроля
процесса и результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в
деятельность на основе новых обстоятельств, данных, найденных ошибок, выявленных
трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины достижения или
недостижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретённому
опыту.
Перечень (кодификатор) проверяемых
требований к метапредметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
Код
проверяемого
требования
1
1.1
Проверяемые требования к метапредметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего образования
Познавательные универсальные учебные действия (далее - УУД)
Базовые логические действия
1.1.1
Устанавливать существенный признак или основания для сравнения,
классификации и обобщения
1.1.2
Выявлять
явлениях
1.1.3
Самостоятельно формулировать и актуализировать проблему,
рассматривать ее всесторонне;
определять цели деятельности, задавать параметры и критерии их
достижения
1.1.4
Вносить коррективы в деятельность, оценивать соответствие
результатов целям, оценивать риски последствий деятельности
1.1.5
Развивать креативное мышление при решении жизненных проблем
1.2
1.2.1
закономерности
и противоречия
в рассматриваемых
Базовые исследовательские действия
Владеть
навыками
учебно-исследовательской
деятельности, навыками разрешения проблем
и
проектной
1.2.2
Овладение видами деятельности по получению нового знания, его
интерпретации, преобразованию и применению в различных учебных
ситуациях, в том числе при создании учебных и социальных проектов
1.2.3
Формирование научного типа мышления, владение
терминологией, ключевыми понятиями и методами
1.2.4
Выявлять причинно-следственные связи и актуализировать задачу,
выдвигать гипотезу ее решения, находить аргументы для доказательства
своих утверждений, задавать параметры и критерии решения
1.2.5
Анализировать полученные в ходе решения задачи результаты, критически
оценивать их достоверность, прогнозировать изменение в новых условиях
научной
1.2.6
Уметь переносить знания в познавательную и практическую области
жизнедеятельности;
уметь интегрировать знания из разных предметных областей; осуществлять
целенаправленный поиск переноса средств и способов действия в
профессиональную среду
1.2.7
Способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения
практических задач, применению различных методов познания;
ставить и формулировать собственные задачи в образовательной
деятельности и жизненных ситуациях;
ставить проблемы и задачи, допускающие альтернативные решения;
выдвигать новые идеи, предлагать оригинальные подходы и решения;
разрабатывать план решения проблемы с учетом анализа имеющихся
материальных и нематериальных ресурсов
1.3
Работа с информацией
1.3.1
Владеть навыками получения информации из источников разных типов,
самостоятельно осуществлять поиск, анализ, систематизацию
и
интерпретацию информации различных видов и форм представления
1.3.2
Создавать тексты в различных форматах с учетом назначения информации
и целевой аудитории, выбирая оптимальную форму представления и
визуализации
1.3.3
Оценивать
достоверность,
легитимность
информации,
соответствие правовым и морально-этическим нормам
1.3.4
Использовать средства информационных и коммуникационных технологий
в решении когнитивных, коммуникативных и организационных задач с
соблюдением требований эргономики, техники безопасности, гигиены,
ресурсосбережения, правовых и этических норм, норм информационной
безопасности
1.3.5
Владеть навыками распознавания и
информационной безопасности личности
2
2.1
защиты
ее
информации,
Коммуникативные УУД
Общение
2.1.1
Осуществлять коммуникации во всех сферах жизни; владеть
различными способами общения и взаимодействия
2.1.2
Развернуто и логично излагать свою точку зрения с использованием
языковых средств
Тематическое планирование по учебному предмету «Геометрия» (базовый уровень)
10 КЛАСС
№
Тема
урока
п/п
Количество
академичес
ких часов
Виды деятельности
Электронные
цифровые
образовательны
е ресурсы
Раздел 1. Введение в стереометрию. 10 часов. КР – нет, ПР – нет.
1
2
Основные понятия стереометрии: точка,
прямая, плоскость, пространство. Правила
изображения на рисунках: изображения
плоскостей, параллельных прямых (отрезков),
середины отрезка
Понятия: пересекающиеся плоскости,
пересекающиеся прямая и плоскость
1
1
3
Понятия: пересекающиеся плоскости,
пересекающиеся прямая и плоскость
4
Знакомство с многогранниками, изображение
многогранников на рисунках, на проекционных
чертежах
1
5
Начальные сведения о кубе и пирамиде, их
развёртки и модели. Сечения многогранников
1
1
Определять плоскость как фигуру,
в которой выполняется
планиметрия. Делать простейшие
логические выводы из аксиоматики
плоскости. Приводить примеры
реальных объектов, идеализацией
которых являются аксиомы
геометрии. Изучать, применять
принципы построения сечений.
Решать стереометрические задачи:
на определение вида сечения и
нахождение его площади.
Актуализировать факты и методы
планиметрии, релевантные теме,
проводить аналогии.
Использовать при решении задач
следующие планиметрические
факты и методы:
Равнобедренный треугольник.
Равносторонний треугольник.
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
aecc77cd
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
2d8a9c99
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
db685e73
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
a63959ed
Библиотека
ЦОК
6
Начальные сведения о кубе и пирамиде, их
развёртки и модели. Сечения многогранников
7
Понятие об аксиоматическом построении
стереометрии: аксиомы стереометрии и
следствия из них
8
Понятие об аксиоматическом построении
стереометрии: аксиомы стереометрии и
следствия из них
9
Понятие об аксиоматическом построении
стереометрии: аксиомы стереометрии и
следствия из них
10
Понятие об аксиоматическом построении
стереометрии: аксиомы стереометрии и
следствия из них
1
1
Прямоугольный треугольник.
Свойство средней линии
треугольника. Свойство
биссектрисы угла треугольника.
Свойство медиан треугольника.
Признаки подобия треугольников.
Получать представления об основных
этапах развития геометрии как
составной части фундамента
развития технологий
https://m.edsoo.ru/
b30dff38
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
3d8ffd32
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
0cc5c4fe
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
239c8cb4
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
65c6b106
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
258fc245
Раздел 2. Прямые и плоскости в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей. 12 часов. КР – 1, ПР –нет.
11
Взаимное расположение прямых в
пространстве: пересекающиеся, параллельные
и скрещивающиеся прямые
1
12
Параллельность прямых и плоскостей в
пространстве: параллельные прямые в
пространстве; параллельность трёх прямых
1
Классифицировать взаимное
расположение прямой и плоскости
в пространстве, приводя
соответствующие примеры из
реальной жизни.
Формулировать определение
параллельных прямой и плоскости.
Решать стереометрические задачи
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
1a2520f6
Библиотека
ЦОК
13
14
15
16
17
18
19
Параллельность прямых и плоскостей в
пространстве: Параллельность прямой и
плоскости
Углы с сонаправленными сторонами
Угол между прямыми в пространстве
Угол между прямыми в пространстве
Параллельность плоскостей: параллельные
плоскости
Свойства параллельных плоскостей
Простейшие пространственные фигуры на
плоскости: тетраэдр, куб, параллелепипед
1
1
1
1
1
1
1
вычисления и доказательство,
связанные с параллельностью
прямых и плоскостей в
пространстве. Решать практические
задачи на построение сечений на
чертежах тетраэдра и
параллелепипеда. Решать
стереометрические задачи,
связанные с построением сечений
плоскостью.
Сравнивать и анализировать
реальные ситуации, связанные с
параллельностью прямой и
плоскости в пространстве;
моделировать реальные ситуации,
связанные с параллельностью
прямой и плоскости в пространстве,
на языке геометрии
https://m.edsoo.ru/
93ad36b3
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
ee1d19b9
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
9f4071b9
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
fe733862
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
2935a9a0
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
2e18f255
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
e504d656
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
4a28dc02
20
Построение сечений
21
Построение сечений
22
Контрольная работа по теме "Прямые и
плоскости в пространстве. Параллельность
прямых и плоскостей"
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
1d434d0f
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
ec26fe5d
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
9a0a9e56
Раздел 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей. 12 часов. КР – нет, ПР – нет.
23
Перпендикулярность прямой и плоскости:
перпендикулярные прямые в пространстве
24
Прямые параллельные и перпендикулярные к
плоскости
25
Прямые параллельные и перпендикулярные к
плоскости
26
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости
1
1
1
1
Формулировать определения:
перпендикулярных прямых в
пространстве; определение прямой,
перпендикулярной к плоскости.
Изучить лемму о
перпендикулярности двух
параллельных прямых к третьей
прямой; теоремы о связи между
параллельностью прямых и их
перпендикулярностью к плоскости.
Изучить теорему, выражающую
признак перпендикулярности
прямой и плоскости; теорему
о существовании и единственности
прямой, проходящей через данную
точку и перпендикулярной к данной
плоскости.
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
b19f6a5d
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
0ac11c95
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
ba545966
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
f85bfc46
27
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости
28
Теорема о прямой перпендикулярной
плоскости
29
Теорема о прямой перпендикулярной
плоскости
30
Теорема о прямой перпендикулярной
плоскости
31
Перпендикуляр и наклонные: расстояние от
точки до плоскости, расстояние от прямой до
плоскости
32
Перпендикуляр и наклонные: расстояние от
точки до плоскости, расстояние от прямой до
плоскости
33
Перпендикуляр и наклонные: расстояние от
точки до плоскости, расстояние от прямой до
плоскости
1
1
1
1
1
1
1
Изображать взаимно
перпендикулярные прямую и
плоскость.
Формулировать свойство
перпендикуляра по отношению к
плоскости.
Получать представление о значении
перпендикуляра для других
областей науки.
Изучить теорему о трёх
перпендикулярах и теорему
обратную теореме о трёх
перпендикулярах.
Решать стереометрические задачи,
связанные с перпендикулярностью
прямой и плоскости. Решать
стереометрические задачи,
связанные с применением теоремы
о трёх перпендикулярах,
нахождением расстояний,
построением проекций.
Анализировать и моделировать на
языке геометрии реальные
ситуации, связанные
с перпендикулярностью прямой и
плоскости; исследовать
построенные модели, в том числе и
с использованием аппарата алгебры
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
79165d15
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
635c5087
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
bd3745f8
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
7d18834b
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
33c477d3
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
66fefadd
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
a5b7b8e3
34
Перпендикуляр и наклонные: расстояние от
точки до плоскости, расстояние от прямой до
плоскости
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
dbee22bc
Раздел 4. Углы между прямыми и плоскостями. 10 часов. КР – 1, ПР –нет.
35
36
37
Углы в пространстве: угол между прямой и
плоскостью
Двугранный угол, линейный угол двугранного
угла
Двугранный угол, линейный угол двугранного
угла
38
Перпендикулярность плоскостей: признак
перпендикулярности двух плоскостей
39
Перпендикулярность плоскостей: признак
перпендикулярности двух плоскостей
40
Перпендикулярность плоскостей: признак
перпендикулярности двух плоскостей
1
1
1
1
1
1
Актуализировать факты и методы
планиметрии, релевантные теме,
проводить аналогии.
Формулировать определение
двугранного угла,
свойство равенства всех линейных
углов двугранного угла.
Формулировать определение
взаимно перпендикулярных
плоскостей. Изучить теорему о
признаке перпендикулярности двух
плоскостей.
Формулировать следствие
(из признака) о перпендикулярности
плоскости, которая
перпендикулярна прямой, по
которой пересекаются две
плоскости, эти плоскостям. Изучить
теорему и следствие из неё о
диагоналях прямоугольного
параллелепипеда.
Решать стереометрические задачи,
связанные с перпендикулярность
прямых и плоскостей, используя
планиметрические факты и методы.
Анализировать и моделировать на
языке геометрии реальные
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
6b61b2b4
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
5fa0b3ce
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
c7c777ed
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
ec3e2da3
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
ed9e2a8e
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
ba75dc57
41
42
Теорема о трёх перпендикулярах
Теорема о трёх перпендикулярах
43
Теорема о трёх перпендикулярах
44
Контрольная работа по темам
"Перпендикулярность прямых и плоскостей" и
"Углы между прямыми и плоскостями"
1
ситуации, связанные с
перпендикулярностью прямых и
плоскостей.
Исследовать построенные модели,
в том числе и с использованием
аппарата алгебры.
1
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
e4972cdc
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
52188a7d
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
9f246736
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
5b971ef3
Раздел 5. Многогранники. 11 часов. КР – 1, ПР – нет.
45
Понятие многогранника, основные элементы
многогранника, выпуклые и невыпуклые
многогранники; развёртка многогранника
46
Призма: n-угольная призма; грани и основания
призмы; прямая и наклонная призмы; боковая и
полная поверхность призмы
47
Параллелепипед, прямоугольный
параллелепипед и его свойства
1
1
1
Работать с учебником: задавать
вопросы, делать замечания,
комментарии.
Анализировать решение задачи.
Рисовать выпуклые многогранники
с заданными свойствами.
Изучить свойства правильных
многогранников. Планировать
построение правильных
многогранников на поверхностях
других правильных многогранников
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
2d24e873
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
b4ad63ad
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
8a7be683
48
Пирамида: n-угольная пирамида, грани и
основание пирамиды; боковая и полная
поверхность пирамиды; правильная и
усечённая пирамида
49
Правильные многогранники: понятие
правильного многогранника; правильная
призма и правильная пирамида; правильная
треугольная пирамида и правильный тетраэдр;
куб
50
Представление о правильных многогранниках:
октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
51
Симметрия в пространстве: симметрия
относительно точки, прямой, плоскости.
Элементы симметрии в пирамидах,
параллелепипедах, правильных
многогранниках
1
1
1
1
52
Вычисление элементов многогранников: рёбра,
диагонали, углы
53
Площадь боковой поверхности и полной
поверхности прямой призмы, площадь
оснований, теорема о боковой поверхности
прямой призмы
1
54
Площадь боковой поверхности и поверхности
правильной пирамиды, теорема о площади
боковой поверхности усечённой пирамиды
1
1
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
fb1cd0a5
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
074c8865
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
a0fdd5bf
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
b9e777d9
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
6cdbecef
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
37d84157
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
5603e30b
55
Контрольная работа по теме "Многогранники"
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
a95f5c04
Раздел 6. Объёмы многогранников. 9 часов. КР – 1, ПР – нет.
56
57
58
59
Понятие об объёме
Объём пирамиды
Объём пирамиды
Объём пирамиды
1
1
1
1
60
Объём пирамиды
1
61
Объём призмы
1
Свободно оперировать понятиями:
объём тела, объём прямоугольного
параллелепипеда.
Формулировать основные свойства
объёмов.
Изучить теорему об объёме
прямоугольного параллелепипеда,
следствия из неё.
Решать стереометрические задачи,
связанные с вычислением объёма
прямоугольного параллелепипеда,
призмы, пирамиды.
Анализировать и моделировать на
языке геометрии реальные
ситуации, связанные с объёмом
прямоугольного параллелепипеда,
призмы, пирамиды.
Исследовать построенные модели,
в том числе и с использованием
аппарата алгебры.
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
7ad0020b
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
235171b3
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
f47dfefd
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
79c10312
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
2faadc3f
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
79853608
62
Объём призмы
63
Объём призмы
64
Контрольная работа по теме "Объёмы
многогранников"
1
1
1
Раздел 7. Повторение: сечения, расстояния и углы. 4 часа. КР – 1, ПР – нет.
Решать стереометрические задачи
на доказательство математических
Повторение, обобщение систематизация
65
1
отношений, нахождение
знаний. Построение сечений в многограннике
геометрических величин (длин,
углов, площадей, объёмов).
Повторение, обобщение систематизация
Использовать при решении
знаний. Вычисление расстояний: между двумя
стереометрических задач
66
1
точками, от точки до прямой, от точки до
планиметрические факты и методы.
Сравнивать и анализировать
плоскости, между скрещивающимися прямыми
реальные ситуации и выявлять
возможность её моделирования на
языке геометрии.
67
Итоговая контрольная работа
1
Моделировать реальную ситуацию
на языке геометрии и исследовать
построенные модели, в том числе и
Повторение, обобщение систематизация
68
1
с использованием аппарата алгебры.
знаний. Вычисление углов: между
Получать представление о
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
1e053890
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
482d3f51
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
28a6573c
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
098bedad
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
f7792ba9
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
b9146bc0
Библиотека
ЦОК
геометрии как о развивающейся
науке, исследующей окружающий
мир, связанной с реальными
объектами,
помогающей решить реальные
жизненные ситуации.
скрещивающимися прямыми, между прямой и
плоскостью, двугранных углов, углов между
плоскостями
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
https://m.edsoo.ru/
56765e8b
68
Тематическое планирование по учебному предмету «Геометрия» (базовый уровень)
11 КЛАСС
№
Тема
урока
п/п
Количество
академичес
ких часов
Виды деятельности
Электронные
цифровые
образовательны
е ресурсы
Раздел 1. Тела вращения. 12 часов. КР – нет, ПР - нет
1
Сфера и шар: центр, радиус, диаметр; площадь
поверхности сферы
2
Взаимное расположение сферы и плоскости;
касательная плоскость к сфере; площадь сферы
3
Изображение сферы, шара на плоскости.
Сечения шара
1
1
1
Свободно оперировать понятиями:
цилиндрическая поверхность,
цилиндр. Изучать способы
получения цилиндрической
поверхности, цилиндра.
Изображать цилиндр и его сечения
плоскостью.
Свободно оперировать понятиями:
коническая поверхность, конус,
усечённый конус. Изучать способы
получения конической поверхности,
конуса.
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
0341bc2b
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
bed12a43
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
bc15f7f2
4
Цилиндрическая поверхность, образующие
цилиндрической поверхности, ось
цилиндрической поверхности
5
Цилиндр: основания и боковая поверхность,
образующая и ось; площадь боковой и полной
поверхности
6
Изображение цилиндра на плоскости.
Развёртка цилиндра. Сечения цилиндра
(плоскостью, параллельной или
перпендикулярной оси цилиндра)
7
Коническая поверхность, образующие
конической поверхности, ось и вершина
конической поверхности
8
Конус: основание и вершина, образующая и
ось; площадь боковой и полной поверхности
9
Усечённый конус: образующие и высота;
основания и боковая поверхность
10
Изображение конуса на плоскости. Развёртка
конуса. Сечения конуса (плоскостью,
параллельной основанию, и плоскостью,
проходящей через вершину)
1
1
1
1
1
1
1
Изображать конус и его сечения
плоскостью, проходящей через ось,
и плоскостью, перпендикулярной к
оси.
Изучить формулы для вычисления
боковой и полной поверхностей тел
вращения. Решать
стереометрические задачи,
связанные с телами вращения,
нахождением площади боковой и
полной поверхности, построением
сечений. Использовать при решении
задач планиметрические факты и
методы. Анализировать и
моделировать на языке геометрии
реальные ситуации, связанные с
конусом и цилиндром.
Актуализировать факты и методы
планиметрии, релевантные теме,
проводить аналогии.
Свободно оперировать понятиями:
сфера и шар, центр, радиус, диаметр
сферы и шара.
Исследовать взаимное
расположение сферы и плоскости.
Решать простые задачи, в которых
фигурируют комбинации тел
вращения и многогранников.
Использовать при решении задач,
связанных со сферой и шаром,
планиметрические факты и методы.
Решать стереометрические задачи,
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
6054b8c1
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
188f6216
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
016e25eb
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
c94ba09b
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
897dd3b2
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
1468bab3
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
0bde1be8
11
Комбинация тел вращения и многогранников
12
Многогранник, описанный около сферы; сфера,
вписанная в многогранник или в тело вращения
1
1
связанные с телами вращения,
построением сечений тел вращения,
с комбинациями тел вращения и
многогранников.
Анализировать и моделировать на
языке геометрии реальные
ситуации, связанные с
многогранниками. Исследовать
построенные модели, в том числе и
с использованием аппарата алгебры
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
3cef10e5
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
0b136158
Раздел 2. Объёмы тел. 5 часов. КР – 1, ПР – нет.
13
14
Понятие об объёме. Основные свойства
объёмов тел
Объём цилиндра, конуса
15
Объём шара и площадь сферы
16
Подобные тела в пространстве. Соотношения
между площадями поверхностей, объёмами
подобных тел
17
Контрольная работа по темам "Тела вращения"
и "Объемы тел"
Библиотека
ЦОК
1
1
1
1
1
Оперировать понятиями: объём
тела, площадь поверхности.
Формулировать основные свойства
объёмов.
Изучить теоремы: об объёме
цилиндра; об объёме конуса.
Исследовать построенные модели,
в том числе и с использованием
аппарата алгебры.
Анализировать и моделировать на
языке геометрии реальные
ситуации, связанные с объёмами и
поверхностями тел,
на нахождение геометрических
величин
https://m.edsoo.ru/
26a03fb7
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
5513d87b
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
d189bde2
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
810cf1eb
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
4a33a8ab
Раздел 3. Векторы и координаты в пространстве. 10 часов. КР – 1, ПР – нет.
18
19
20
21
Вектор на плоскости и в пространстве
Сложение и вычитание векторов
Умножение вектора на число
Разложение вектора по трём некомпланарным
векторам. Правило параллелепипеда
22
Решение задач, связанных с применением
правил действий с векторами
23
Координатно-векторный метод при решении
геометрических задач
24
Прямоугольная система координат в
пространстве. Координаты вектора.
Простейшие задачи в координатах
1
1
1
1
1
1
1
Актуализировать факты и методы
планиметрии, релевантные теме,
проводить аналогии.
Оперировать понятиями: вектор на
плоскости и в пространстве;
компланарные векторы. Приводить
примеры физических векторных
величин.
Осваивать правила выполнения
действий сложения и вычитания
векторов, умножения вектора на
число.
Изучить признак компланарности
трёх векторов, теорему о
разложении любого вектора по трём
данным некомпланарным векторам.
Сводить действия с векторами к
аналогичным действиям с их
координатами.
Вспомнить определение скалярного
умножения и его свойства.
Вычислять с помощью скалярного
умножения длины векторов, углы
между ними, устанавливать
перпендикулярность векторов.
Решать простейшие задачи, сочетая
координатный и векторный методы.
Проводить логически корректные
рассуждения при решении
геометрических задач на
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
5caefc1b
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
23f4f089
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
dee379eb
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
a28fd74e
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
5a827900
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
d3a1fe30
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
48db7058
25
Угол между векторами. Скалярное
произведение векторов
26
Вычисление углов между прямыми и
плоскостями
27
Контрольная работа по теме "Векторы и
координаты в пространстве"
1
применение векторнокоординатного метода.
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
725effc4
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
8efbe78e
Библиотека
ЦОК
1
https://m.edsoo.ru/
77c22fc5
Раздел 4. Повторение, обобщение, систематизация знаний. 7 часов. КР – 1, ПР - нет
28
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Основные фигуры, факты, теоремы
курса планиметрии
29
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Основные фигуры, факты, теоремы
курса планиметрии
30
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Задачи планиметрии и методы их
решения
31
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Задачи планиметрии и методы их
решения
1
1
1
1
Решать стереометрические задачи
на нахождение геометрических
величин (длин, углов, площадей,
объёмов). Использовать при
решении стереометрических задач
планиметрические факты и методы.
Проводить логически корректные
доказательные рассуждения при
решении стереометрических и
планиметрических задач.
Сравнивать и анализировать
реальные ситуации и выявлять
возможность её моделирования на
языке геометрии.
Моделировать реальную ситуацию
на языке геометрии и исследовать
построенные модели, в том числе и
с использованием аппарата алгебры.
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
1780ba5d
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
078cd184
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
7491efe0
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
4dffda97
32
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Основные фигуры, факты, теоремы
курса стереометрии
33
Итоговая контрольная работа
34
Повторение, обобщение и систематизация
знаний
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
1
1
1
34
Получать представление о геометрии
как о развивающейся науке,
исследующей окружающий мир,
связанной с реальными объектами,
помогающей решить реальные
жизненные ситуации.
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
74b2ad91
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
ec24dfc2
Библиотека
ЦОК
https://m.edsoo.ru/
f465d10e
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
10 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
7
7.1
7.2
7.3
7.4
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Геометрия
Оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость
Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении
геометрических задач
Оперировать понятиями: параллельность и перпендикулярность
прямых и плоскостей
Классифицировать взаимное расположение прямых и плоскостей в
пространстве
Оперировать понятиями: двугранный угол, грани двугранного угла,
7.5
ребро двугранного угла, линейный угол двугранного угла,
градусная мера двугранного угла
Оперировать понятиями: многогранник, выпуклый и невыпуклый
7.6
многогранник,
элементы
многогранника,
правильный
многогранник
7.7
Распознавать основные виды многогранников (пирамида, призма,
прямоугольный параллелепипед, куб)
Классифицировать
7.8
классификации
многогранники,
(выпуклые
и
выбирая
невыпуклые
правильные многогранники, прямые и
основания
для
многогранники,
наклонные призмы,
параллелепипеды)
7.9
7.10
Оперировать
понятиями:
секущая
плоскость,
сечение
многогранников
Объяснять
принципы
построения
сечений
многогранников,
используя метод следов
Строить сечения многогранников методом следов, выполнять
7.11
(выносные) плоские чертежи из рисунков простых объёмных
фигур: вид сверху, сбоку, снизу
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам
или алгоритмам, применяя известные аналитические методы при
7.12
решении стандартных математических задач на вычисление
расстояний между двумя точками, от точки до прямой, от точки до
плоскости, между скрещивающимися прямыми
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам
или алгоритмам, применяя известные аналитические методы при
7.13
решении стандартных математических задач на вычисление углов
между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью,
между плоскостями, двугранных углов
Вычислять объёмы и площади поверхностей многогранников
7.14
(призма,
пирамида)
с
применением
формул,
вычислять
соотношения между площадями поверхностей, объёмами подобных
многогранников
7.15
Оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и
плоскость симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры
Извлекать, преобразовывать и интерпретировать информацию о
7.16
пространственных геометрических фигурах, представленную на
чертежах и рисунках
Применять геометрические факты для решения стереометрических
7.17
задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия
применения заданы в явной форме
Применять простейшие программные средства и электронно-
7.18
коммуникационные системы при решении стереометрических
задач
7.19
Приводить примеры математических закономерностей в природе и
жизни, распознавать проявление законов геометрии в искусстве
Применять полученные знания на практике: анализировать
реальные ситуации и применять изученные понятия в процессе
поиска решения математически сформулированной проблемы,
7.20
моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать
построенные модели с использованием геометрических понятий и
теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные
с нахождением геометрических величин
11 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
6
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Геометрия
Оперировать
6.1
понятиями:
цилиндрическая
поверхность,
образующие цилиндрической поверхности, цилиндр, коническая
поверхность,
образующие
конической
поверхности,
конус,
сферическая поверхность
6.2
Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар)
6.3
Объяснять способы получения тел вращения
6.4
Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости
Оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сегмента,
6.5
высота сегмента, шаровой слой, основание шарового слоя, высота
шарового слоя, шаровой сектор
6.6
Вычислять объёмы и площади поверхностей тел вращения,
геометрических тел с применением формул
Оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу и
6.7
описанный около сферы, сфера, вписанная в многогранник или
тело вращения
6.8
6.9
Вычислять соотношения между площадями поверхностей и
объёмами подобных тел
Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых
чертёжных инструментов
Выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых
6.10
объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу; строить сечения тел
вращения
Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о
6.11
пространственных геометрических фигурах, представленную на
чертежах и рисунках
6.12
Применять геометрические факты для решения стереометрических
задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия
применения заданы в явной форме
6.13
Оперировать понятием: вектор в пространстве
Выполнять действия сложения векторов, вычитания векторов и
6.14
умножения вектора на число, объяснять, какими свойствами они
обладают
6.15
Применять правило параллелепипеда при сложении векторов
6.16
Оперировать понятиями: декартовы координаты в пространстве,
вектор, модуль вектора, равенство векторов, координаты вектора,
угол между векторами, скалярное произведение векторов,
коллинеарные и компланарные векторы
6.17
Находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол
между векторами, скалярное произведение, раскладывать вектор
по двум неколлинеарным векторам
6.18
Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат
6.19
6.20
6.21
Решать простейшие геометрические задачи на применение
векторно-координатного метода
Решать задачи на доказательство математических отношений и
нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам,
применяя известные методы при решении стандартных
математических задач
Применять простейшие программные средства и электроннокоммуникационные системы при решении стереометрических
задач
6.22
Приводить примеры математических закономерностей в природе и
жизни, распознавать проявление законов геометрии в искусстве
Применять полученные знания на практике: анализировать
реальные ситуации и применять изученные понятия в процессе
поиска решения математически сформулированной проблемы,
6.23
моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать
построенные модели с использованием геометрических понятий и
теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные
с нахождением геометрических величин
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
10 КЛАСС
Код
7
Проверяемый элемент содержания
Геометрия
Основные понятия стереометрии. Точка, прямая, плоскость, пространство.
7.1
Понятие
об
аксиоматическом
построении
стереометрии:
аксиомы
стереометрии и следствия из них
Взаимное
расположение
прямых
в
пространстве:
пересекающиеся,
параллельные и скрещивающиеся прямые. Параллельность прямых и
плоскостей
7.2
в
пространстве:
параллельные
прямые
в
пространстве,
параллельность трёх прямых, параллельность прямой и плоскости. Углы с
сонаправленными сторонами, угол между прямыми в пространстве.
Параллельность
плоскостей:
параллельные
плоскости,
свойства
параллельных плоскостей. Простейшие пространственные фигуры на
плоскости: тетраэдр, куб, параллелепипед, построение сечений
Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в
пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости,
признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой
перпендикулярной плоскости. Углы в пространстве: угол между прямой и
7.3
плоскостью,
двугранный
угол,
линейный
угол
двугранного
угла.
Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние
от прямой до плоскости, проекция фигуры на плоскость. Перпендикулярность
плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема о трёх
перпендикулярах
Понятие многогранника, основные элементы многогранника, выпуклые и
невыпуклые многогранники, развёртка многогранника. Призма: n-угольная
призма, грани и основания призмы, прямая и наклонная призмы, боковая и
полная
7.4
поверхность
призмы.
Параллелепипед,
прямоугольный
параллелепипед и его свойства. Пирамида: n-угольная пирамида, грани и
основание пирамиды, боковая и полная поверхность пирамиды, правильная и
усечённая
пирамида.
Элементы
призмы
и
пирамиды.
Правильные
многогранники: понятие правильного многогранника, правильная призма и
правильная пирамида, правильная треугольная пирамида и правильный
тетраэдр, куб. Представление о правильных многогранниках: октаэдр,
додекаэдр и икосаэдругие Сечения призмы и пирамиды
Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки, прямой,
7.5
плоскости.
Элементы
симметрии
в
пирамидах,
параллелепипедах,
правильных многогранниках
Вычисление элементов многогранников: рёбра, диагонали, углы. Площадь
боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь
7.6
оснований, теорема о боковой поверхности прямой призмы. Площадь боковой
поверхности и поверхности правильной пирамиды, теорема о площади
усечённой пирамиды. Понятие об объёме. Объём пирамиды, призмы
7.7
Подобные
тела
в
пространстве.
Соотношения
между
площадями
поверхностей, объёмами подобных тел
11 КЛАСС
Код
6
Проверяемый элемент содержания
Геометрия
Цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности,
6.1
ось
цилиндрической
поверхности.
Цилиндр:
основания
и
боковая
поверхность, образующая и ось, площадь боковой и полной поверхности
6.2
Коническая поверхность, образующие конической поверхности, ось и
вершина конической поверхности. Конус: основание и вершина, образующая
и ось, площадь боковой и полной поверхности. Усечённый конус:
образующие и высота, основания и боковая поверхность
6.3
Сфера и шар: центр, радиус, диаметр, площадь поверхности сферы. Взаимное
расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере, площадь
сферы
6.4
Изображение тел вращения на плоскости. Развёртка цилиндра и конуса
6.5
Комбинации тел вращения и многогранников. Многогранник, описанный
около сферы, сфера, вписанная в многогранник, или тело вращения
6.6
Понятие об объёме. Основные свойства объёмов тел. Теорема об объёме
прямоугольного параллелепипеда и следствия из неё. Объём цилиндра,
конуса. Объём шара и площадь сферы
6.7
Подобные тела в пространстве. Соотношения
поверхностей, объёмами подобных тел
между
площадями
6.8
Сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса
(параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара
6.9
Вектор на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число. Разложение вектора по трём некомпланарным
векторам. Правило параллелепипеда. Решение задач, связанных с
применением правил действий с векторами
6.10
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора.
Простейшие задачи в координатах. Угол между векторами. Скалярное
произведение векторов. Вычисление углов между прямыми и плоскостями.
Координатно-векторный метод при решении геометрических задач
ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К
РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код
проверяемого
требования
Проверяемые требования к предметным результатам
освоения основной образовательной программы среднего
общего образования
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач;
умение формулировать и оперировать понятиями: определение,
аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство,
равносильные
формулировки;
формулировать
обратное
приводить
примеры
и
и
применять
их;
противоположное
контрпримеры,
умение
утверждение,
использовать
метод
математической индукции; проводить доказательные рассуждения
1
при
решении
задач,
рассуждений;
умение
оценивать
логическую
оперировать
правильность
понятиями:
множество,
подмножество, операции над множествами; умение использовать
теоретико-множественный
аппарат
для
описания
реальных
процессов и явлений и при решении задач, в том числе из других
учебных предметов; умение оперировать понятиями: граф, связный
граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение задавать и
описывать графы различными способами; использовать графы при
решении задач
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число,
степень с целым показателем, корень натуральной степени, степень
с
рациональным
показателем,
показателем,
логарифм
числа,
степень
синус,
с
действительным
косинус
и
тангенс
произвольного числа, остаток по модулю, рациональное число,
2
иррациональное
число,
множества
натуральных,
целых,
рациональных, действительных чисел; умение использовать
признаки делимости, наименьший общий делитель и наименьшее
общее кратное, алгоритм Евклида при решении задач; знакомство
с различными позиционными системами счисления; умение
выполнять вычисление значений и преобразования выражений со
степенями и логарифмами, преобразования дробно-рациональных
выражений; умение оперировать понятиями: последовательность,
арифметическая
прогрессия,
геометрическая
прогрессия,
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;
задавать
последовательности,
рекуррентных
формул;
в
том
умение
числе
оперировать
с
умение
помощью
понятиями:
комплексное число, сопряжённые комплексные числа, модуль и
аргумент комплексного числа, форма записи комплексных чисел
(геометрическая, тригонометрическая и алгебраическая); уметь
производить арифметические действия с комплексными числами;
приводить
примеры
использования
комплексных
чисел;
оперировать понятиями: матрица 2×2 и 3×3, определитель
матрицы, геометрический смысл определителя
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические
уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать
понятиями: тождество, тождественное преобразование, уравнение,
3
неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность
уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения,
неравенства и системы с помощью различных приёмов; решать
уравнения, неравенства и системы с параметром; применять
уравнения, неравенства, их системы для решения математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции,
периодичность функции, ограниченность функции, монотонность
функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты
графика функции, первая и вторая производная функции,
геометрический и физический смысл производной, первообразная,
4
определённый интеграл; умение находить асимптоты графика
функции; умение вычислять производные суммы, произведения,
частного и композиции функций, находить уравнение касательной
к графику функции; умение находить производные элементарных
функций; умение использовать производную для исследования
функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций;
строить
графики
многочленов
с
использованием
аппарата
математического анализа; применять производную для нахождения
наилучшего решения в прикладных, в том числе социальноэкономических и физических задачах; находить площади и объёмы
фигу с помощью интеграла; приводить примеры математического
моделирования с помощью дифференциальных уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная
функция, композиция функций, линейная функция, квадратичная
функция,
рациональная
функция,
степенная
функция,
тригонометрические функции, обратные тригонометрические
функции, показательная и логарифмическая функции; умение
строить графики изученных функций, выполнять преобразования
5
графиков функций, использовать графики для изучения процессов
и зависимостей, при решении задач из других учебных предметов
и задач из реальной жизни; выражать формулами зависимости
между величинами; использовать свойства и графики функций для
решения уравнений, неравенств и задач с параметрами; изображать
на координатной плоскости множества решений уравнений,
неравенств и их систем
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на
проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и
услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными
финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их
6
системы по условию задачи, исследовать полученное решение и
оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать
реальные ситуации на языке математики; составлять выражения,
уравнения, неравенства и их системы по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата
алгебры, интерпретировать полученный результат
Умение
оперировать
понятиями:
среднее
арифметическое,
медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия,
стандартное отклонение числового набора; умение извлекать,
7
интерпретировать информацию, представленную в таблицах, на
диаграммах, графиках, отражающую свойства реальных процессов
и явлений; представлять информацию с помощью таблиц и
диаграмм; исследовать статистические данные, в том числе с
применением графических методов и электронных средств;
графически исследовать совместные наблюдения с помощью
диаграмм рассеивания и линейной регрессии
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное
событие, вероятность случайного события; умение вычислять
вероятность с использованием графических методов; применять
формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной
вероятности,
формулу
Бернулли,
комбинаторные
факты
и
формулы; оценивать вероятности реальных событий; умение
оперировать понятиями: случайная величина, распределение
вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное
отклонение случайной величины, функции распределения и
8
плотности
равномерного,
распределений;
умение
показательного
использовать
и
нормального
свойства
изученных
распределений для решения задач; знакомство с понятиями: закон
больших чисел, методы выборочных исследований; умение
приводить примеры проявления закона больших чисел
в
природных и общественных явлениях; умение оперировать
понятиями: сочетание, перестановка, число сочетаний, число
перестановок; бином Ньютона; умение применять комбинаторные
факты и рассуждения для решения задач; оценивать вероятности
реальных
событий;
составлять
вероятностную
модель
и
интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость,
пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол,
двугранный угол, трёхгранный угол, скрещивающиеся прямые,
параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, угол
между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между
9
плоскостями, расстояние от точки до плоскости, расстояние между
прямыми, расстояние между плоскостями; умение использовать
при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии;
умение оценивать размеры объектов окружающего мира; строить
математические модели с помощью геометрических понятий и
величин, решать связанные с ними практические задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объём фигуры,
10
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника,
куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность
вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь
поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объём куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара, развёртка поверхности, сечения конуса и цилиндра,
параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость,
касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение
многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности
вращения, их сечения, в том числе с помощью электронных
средств; умение применять свойства геометрических фигур,
самостоятельно формулировать определения изучаемых фигур,
выдвигать гипотезы о свойствах и признаках геометрических
фигур, обосновывать или опровергать их; умение проводить
классификацию фигур по различным признакам, выполнять
необходимые дополнительные построения
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве,
параллельный перенос, симметрия на плоскости и в пространстве,
поворот, преобразование подобия, подобные фигуры; умение
распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе,
искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения
при решении задач; находить геометрические величины (длина,
11
угол, площадь, объём) при решении задач из других учебных
предметов и из реальной жизни; умение вычислять геометрические
величины (длина, угол, площадь, объём, площадь поверхности),
используя изученные формулы и методы, в том числе: площадь
поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы;
объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы,
цилиндра, конуса, шара; умение находить отношение объёмов
подобных фигур
Умение
оперировать
понятиями:
прямоугольная
система
координат, вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма
векторов, произведение вектора на число, разложение вектора по
12
базису, скалярное произведение, векторное произведение, угол
между
векторами;
умение
использовать
векторный
и
координатный метод для решения геометрических задач и задач
других учебных предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи;
понимание значимости математики в изучении природных и
13
общественных
процессов
и
явлений;
умение
распознавать
проявление законов математики в искусстве, умение приводить
примеры математических открытий российской и мировой
математической науки
ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ЕГЭ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Код
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
1.7
числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка
результата вычислений
1.8
Преобразование выражений
1.9
Комплексные числа
2
Уравнения и неравенства
2.1
Целые и дробно-рациональные уравнения
2.2
Иррациональные уравнения
2.3
Тригонометрические уравнения
2.4
Показательные и логарифмические уравнения
2.5
Целые и дробно-рациональные неравенства
2.6
Иррациональные неравенства
2.7
Показательные и логарифмические неравенства
2.8
Тригонометрические неравенства
2.9
Системы и совокупности уравнений и неравенств
2.10
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
2.11
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
3
3.1
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
3.2
Промежутки
знакопостоянства.
Промежутки
монотонности
функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.5
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.6
Точки
разрыва. Асимптоты
графиков функций. Свойства функций,
непрерывных на отрезке
3.7
Последовательности, способы задания последовательностей
3.8
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
4
4.1
Начала математического анализа
Производная функции. Производные элементарных функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
4.2
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке
4.3
5
Первообразная. Интеграл
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
5.2
Логика
6
Вероятность и статистика
6.1
Описательная статистика
6.2
Вероятность
6.3
7
Комбинаторика
Геометрия
7.1
Фигуры на плоскости
7.2
Прямые и плоскости в пространстве
7.3
Многогранники
7.4
Тела и поверхности вращения
7.5
Координаты и векторы
