ПРИЛОЖЕНИЕ
к основной образовательной программе
среднего общего образования,
уровень образования

утверждённой приказом директора
МАОУ-Гимназии № 45,
Приказ № 101/2-од от 29.08.2025

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ
«ГЕОМЕТРИЯ»
(углубленный уровень)

г. Екатеринбург, 2025 г.

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
10 КЛАСС
Прямые и плоскости в пространстве
Основные понятия стереометрии. Точка, прямая, плоскость, пространство. Понятие
об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них.
Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и
скрещивающиеся прямые. Признаки скрещивающихся прямых. Параллельность прямых и
плоскостей в пространстве: параллельные прямые в пространстве, параллельность трёх
прямых, параллельность прямой и плоскости. Параллельное и центральное
проектирование, изображение фигур. Основные свойства параллельного проектирования.
Изображение фигур в параллельной проекции. Углы с сонаправленными сторонами, угол
между прямыми в пространстве. Параллельность плоскостей: параллельные плоскости,
свойства параллельных плоскостей. Простейшие пространственные фигуры на плоскости:
тетраэдр, параллелепипед, построение сечений.
Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в
пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак
перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной плоскости.
Ортогональное проектирование. Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до
плоскости, расстояние от прямой до плоскости, проекция фигуры на плоскость.
Перпендикулярность плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема
о трёх перпендикулярах.
Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью, двугранный угол, линейный
угол двугранного угла. Трёхгранный и многогранные углы. Свойства плоских углов
многогранного угла. Свойства плоских и двугранных углов трёхгранного угла. Теоремы
косинусов и синусов для трёхгранного угла.
Многогранники
Виды многогранников, развёртка многогранника. Призма: n-угольная призма, прямая
и наклонная призмы, боковая и полная поверхность призмы. Параллелепипед,
прямоугольный параллелепипед и его свойства. Кратчайшие пути на поверхности
многогранника. Теорема Эйлера. Пространственная теорема Пифагора. Пирамида: nугольная пирамида, правильная и усечённая пирамиды. Свойства рёбер и боковых граней
правильной пирамиды. Правильные многогранники: правильная призма и правильная
пирамида, правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр, куб. Представление о
правильных многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Вычисление элементов многогранников: рёбра, диагонали, углы. Площадь боковой
поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь оснований, теорема о боковой
поверхности прямой призмы. Площадь боковой поверхности и поверхности правильной
пирамиды, теорема о площади усечённой пирамиды.
Симметрия в пространстве. Элементы симметрии правильных многогранников.
Симметрия в правильном многограннике: симметрия параллелепипеда, симметрия
правильных призм, симметрия правильной пирамиды.
Векторы и координаты в пространстве
Понятия: вектор в пространстве, нулевой вектор, длина ненулевого вектора, векторы
коллинеарные, сонаправленные и противоположно направленные векторы. Равенство

векторов. Действия с векторами: сложение и вычитание векторов, сумма нескольких
векторов, умножение вектора на число. Свойства сложения векторов. Свойства умножения
вектора на число. Понятие компланарные векторы. Признак компланарности трёх векторов.
Правило параллелепипеда. Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным
векторам. Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Связь
между координатами вектора и координатами точек. Угол между векторами. Скалярное
произведение векторов.
Понятия: цилиндрическая поверхность, коническая поверхность, сферическая
поверхность, образующие поверхностей. Тела вращения: цилиндр, конус, усечённый конус,
сфера, шар. Взаимное расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере.
Изображение тел вращения на плоскости. Развёртка цилиндра и конуса. Симметрия сферы
и шара.
Объём. Основные свойства объёмов тел. Теорема об объёме прямоугольного
параллелепипеда и следствия из неё. Объём прямой и наклонной призмы, цилиндра,
пирамиды и конуса. Объём шара и шарового сегмента.
Комбинации тел вращения и многогранников. Призма, вписанная в цилиндр,
описанная около цилиндра. Пересечение сферы и шара с плоскостью. Касание шара и
сферы плоскостью. Понятие многогранника, описанного около сферы, сферы, вписанной в
многогранник или тело вращения.
Площадь поверхности цилиндра, конуса, площадь сферы и её частей. Подобие в
пространстве. Отношение объёмов, площадей поверхностей подобных фигур.
Преобразование подобия, гомотетия. Решение задач на плоскости с использованием
стереометрических методов.
Построение сечений многогранников и тел вращения: сечения цилиндра
(параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельные основанию и
проходящие через вершину), сечения шара, методы построения сечений: метод следов,
метод внутреннего проектирования, метод переноса секущей плоскости.
Векторы и координаты в пространстве
Векторы в пространстве. Операции над векторами. Векторное умножение векторов.
Свойства векторного умножения. Прямоугольная система координат в пространстве.
Координаты вектора. Разложение вектора по базису. Координатно-векторный метод при
решении геометрических задач.
Движения в пространстве
Движения пространства. Отображения. Движения и равенство фигур. Общие
свойства движений. Виды движений: параллельный перенос, центральная симметрия,
зеркальная симметрия, поворот вокруг прямой. Преобразования подобия. Прямая и сфера
Эйлера.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ»
(УГЛУБЛЕННЫЙ УРОВЕНЬ) НА УРОВНЕ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданское воспитание:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и ответственного члена
российского общества, представление о математических основах функционирования различных
структур, явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и другое), умение
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их функциями и назначением;
2) патриотическое воспитание:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и настоящему
российской математики, ценностное отношение к достижениям российских математиков и российской
математической школы, использование этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики;
3) духовно-нравственное воспитание:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность нравственного сознания,
этического поведения, связанного с практическим применением достижений науки и деятельностью
учёного, осознание личного вклада в построение устойчивого будущего;
4) эстетическое воспитание:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических закономерностей, объектов,
задач, решений, рассуждений, восприимчивость к математическим аспектам различных видов искусства;
5) физическое воспитание:
сформированность умения применять математические знания в интересах здорового и безопасного
образа жизни, ответственное отношение к своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим
занятий и отдыха, регулярная физическая активность), физическое совершенствование при занятиях
спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудовое воспитание:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к различным сферам
профессиональной деятельности, связанным с математикой и её приложениями, умение совершать
осознанный выбор будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы, готовность и
способность к математическому образованию и самообразованию на протяжении всей жизни, готовность
к активному участию в решении практических задач математической направленности;
7) экологическое воспитание:
сформированность экологической культуры, понимание влияния социально-экономических
процессов на состояние природной и социальной среды, осознание глобального характера экологических
проблем, ориентация на применение математических знаний для решения задач в области окружающей
среды, планирование поступков и оценки их возможных последствий для окружающей среды;
8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и
общественной практики, понимание математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов
её развития и значимости для развития цивилизации, овладение языком математики и математической

культурой как средством познания мира, готовность осуществлять проектную и исследовательскую
деятельность индивидуально и в группе.

ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу 10 класса обучающийся научится:
 свободно оперировать основными понятиями стереометрии при решении задач и проведении
математических рассуждений;
 применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении геометрических задач;
 классифицировать взаимное расположение прямых в пространстве, плоскостей в пространстве,
прямых и плоскостей в пространстве;
 свободно оперировать понятиями, связанными с углами в пространстве: между прямыми в
пространстве, между прямой и плоскостью;
 свободно оперировать понятиями, связанными с многогранниками;
 свободно распознавать основные виды многогранников (призма, пирамида, прямоугольный
параллелепипед, куб);
 классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации;
 свободно оперировать понятиями, связанными с сечением многогранников плоскостью;
 выполнять параллельное, центральное и ортогональное проектирование фигур на плоскость,
выполнять изображения фигур на плоскости;
 строить сечения многогранников различными методами, выполнять (выносные) плоские
чертежи из рисунков простых объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу;
 вычислять площади поверхностей многогранников (призма, пирамида), геометрических тел с
применением формул;
 свободно оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость симметрии,
центр, ось и плоскость симметрии фигуры;
 свободно оперировать понятиями, соответствующими векторам и координатам в пространстве;
 выполнять действия над векторами;
 решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических
величин, применяя известные методы при решении математических задач повышенного и
высокого уровня сложности;
 применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при
решении стереометрических задач;
 извлекать, преобразовывать и интерпретировать информацию о пространственных
геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках;
 применять полученные знания на практике: сравнивать и анализировать реальные ситуации,
применять изученные понятия в процессе поиска решения математически сформулированной
проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать
практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин;



иметь представления об основных этапах развития геометрии как составной части фундамента
развития технологий.
К концу 11 класса обучающийся научится:
 свободно оперировать понятиями, связанными с цилиндрической, конической и сферической
поверхностями, объяснять способы получения;
 оперировать понятиями, связанными с телами вращения: цилиндром, конусом, сферой и шаром;
 распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар) и объяснять способы получения тел
вращения;
 классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости;
 вычислять величины элементов многогранников и тел вращения, объёмы и площади
поверхностей многогранников и тел вращения, геометрических тел с применением формул;
 свободно оперировать понятиями, связанными с комбинациями тел вращения и
многогранников: многогранник, вписанный в сферу и описанный около сферы, сфера, вписанная
в многогранник или тело вращения;
 вычислять соотношения между площадями поверхностей и объёмами подобных тел;
 изображать изучаемые фигуры, выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых
объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу, строить сечения тел вращения;
 извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о пространственных
геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках;
 свободно оперировать понятием вектор в пространстве;
 выполнять операции над векторами;
 задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат;
 решать геометрические задачи на вычисление углов между прямыми и плоскостями,
вычисление расстояний от точки до плоскости, в целом, на применение векторно-координатного
метода при решении;
 свободно оперировать понятиями, связанными с движением в пространстве, знать свойства
движений;
 выполнять изображения многогранников и тел вращения при параллельном переносе,
центральной симметрии, зеркальной симметрии, при повороте вокруг прямой, преобразования
подобия;
 строить сечения многогранников и тел вращения: сечения цилиндра (параллельно и
перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельные основанию и проходящие через вершину),
сечения шара;
 использовать методы построения сечений: метод следов, метод внутреннего проектирования,
метод переноса секущей плоскости;
 доказывать геометрические утверждения;
 применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих
несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной и неявной форме;
 решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических
величин;
 применять программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении
стереометрических задач;





применять полученные знания на практике: сравнивать, анализировать и оценивать реальные
ситуации, применять изученные понятия, теоремы, свойства в процессе поиска решения
математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и
теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением
геометрических величин;
иметь представления об основных этапах развития геометрии как составной части фундамента
развития технологий.

МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий,
отношений между понятиями, формулировать определения понятий, устанавливать существенный
признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные,
единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных,
наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений,
умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и от противного),
выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры, обосновывать собственные суждения
и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать
наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания, формулировать вопросы,
фиксирующие противоречие, проблему, устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу,
аргументировать свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по установлению
особенностей математического объекта, явления, процесса, выявлению зависимостей между объектами,
явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого наблюдения,
исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его развитии в
новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать, систематизировать и
интерпретировать информацию различных видов и форм представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах, иллюстрировать графически;

оценивать надёжность информации по самостоятельно сформулированным критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения, ясно,
точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу
решения задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой задачи,
высказывать идеи, нацеленные на поиск решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других
участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме формулировать
разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта, самостоятельно
выбирать формат выступления с учётом задач презентации и особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учётом имеющихся
ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом
новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и
мыслительных процессов, их результатов, владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и
результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в
деятельность на основе новых обстоятельств, данных, найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины достижения или
недостижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении
учебных задач, принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной работы,
распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения
нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые штурмы» и иные),
выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими членами команды, оценивать
качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным участниками
взаимодействия.
Перечень (кодификатор) проверяемых
требований к метапредметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
Код
проверяемого
требования

Проверяемые требования к метапредметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего образования

1
1.1

Познавательные универсальные учебные действия (далее - УУД)
Базовые логические действия

1.1.1

Устанавливать существенный признак или основания для сравнения,
классификации и обобщения

1.1.2

Выявлять
явлениях

1.1.3

Самостоятельно формулировать и актуализировать проблему,
рассматривать ее всесторонне;
определять цели деятельности, задавать параметры и критерии их
достижения

1.1.4

Вносить коррективы в деятельность, оценивать соответствие
результатов целям, оценивать риски последствий деятельности

1.1.5

Развивать креативное мышление при решении жизненных проблем

1.2

закономерности

и противоречия

в рассматриваемых

Базовые исследовательские действия

1.2.1

Владеть
навыками
учебно-исследовательской
деятельности, навыками разрешения проблем

и

проектной

1.2.2

Овладение видами деятельности по получению нового знания, его
интерпретации, преобразованию и применению в различных учебных
ситуациях, в том числе при создании учебных и социальных проектов

1.2.3

Формирование научного типа мышления, владение
терминологией, ключевыми понятиями и методами

1.2.4

Выявлять причинно-следственные связи и актуализировать задачу,
выдвигать гипотезу ее решения, находить аргументы для доказательства
своих утверждений, задавать параметры и критерии решения

1.2.5

Анализировать полученные в ходе решения задачи результаты, критически
оценивать их достоверность, прогнозировать изменение в новых условиях

научной

1.2.6

Уметь переносить знания в познавательную и практическую области
жизнедеятельности;
уметь интегрировать знания из разных предметных областей; осуществлять
целенаправленный поиск переноса средств и способов действия в
профессиональную среду

1.2.7

Способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения
практических задач, применению различных методов познания;
ставить и формулировать собственные задачи в образовательной
деятельности и жизненных ситуациях;
ставить проблемы и задачи, допускающие альтернативные решения;
выдвигать новые идеи, предлагать оригинальные подходы и решения;
разрабатывать план решения проблемы с учетом анализа имеющихся
материальных и нематериальных ресурсов

1.3

Работа с информацией

1.3.1

Владеть навыками получения информации из источников разных типов,
самостоятельно осуществлять поиск, анализ, систематизацию
и
интерпретацию информации различных видов и форм представления

1.3.2

Создавать тексты в различных форматах с учетом назначения информации
и целевой аудитории, выбирая оптимальную форму представления и
визуализации

1.3.3

Оценивать
достоверность,
легитимность
информации,
соответствие правовым и морально-этическим нормам

1.3.4

Использовать средства информационных и коммуникационных технологий
в решении когнитивных, коммуникативных и организационных задач с
соблюдением требований эргономики, техники безопасности, гигиены,
ресурсосбережения, правовых и этических норм, норм информационной
безопасности

1.3.5

Владеть навыками распознавания и
информационной безопасности личности

2
2.1

защиты

ее

информации,

Коммуникативные УУД
Общение

2.1.1

Осуществлять коммуникации во всех сферах жизни; владеть
различными способами общения и взаимодействия

2.1.2

Развернуто и логично излагать свою точку зрения с использованием
языковых средств

Тематическое планирование по учебному предмету «Геометрия» (углубленный уровень)
10 КЛАСС
№
Тема
урока
п/п

Количество
академичес
ких часов

Виды деятельности

Электронные
цифровые
образовательны
е ресурсы

Раздел 1. Введение в стереометрию. 23 часа. КР – 1, ПР – нет.

1

Основные правила изображения на рисунке
плоскости, параллельных прямых (отрезков),
середины отрезка

2

Понятия стереометрии: точка, прямая,
плоскость, пространство. Основные правила
изображения на рисунке плоскости,
параллельных прямых (отрезков), середины
отрезка

1

3

Понятия: пересекающиеся плоскости,
пересекающиеся прямая и плоскость;
полупространство

1

4

Понятия: пересекающиеся плоскости,
пересекающиеся прямая и плоскость;
полупространство

1

5

Многогранники, изображение простейших
пространственных фигур, несуществующих
объектов

1

6

Многогранники, изображение простейших
пространственных фигур, несуществующих
объектов

1

1

Определять плоскость как фигуру,
в которой выполняется
планиметрия. Делать простейшие
логические выводы из аксиоматики
плоскости. Приводить примеры
реальных объектов, идеализацией
которых являются аксиомы
геометрии. Изучать, применять
принципы построения сечений.
Использовать для построения
сечений метод следов, метод
внутреннего проектирования, метод
переноса секущей плоскости.
Решать стереометрические задачи:
на определение вида сечения и
нахождение его площади.
Актуализировать факты и методы
планиметрии, релевантные теме,
проводить аналогии.
Использовать при решении задач
следующие планиметрические
факты и методы:

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

7

Аксиомы стереометрии и первые следствия из
них

1

8

Аксиомы стереометрии и первые следствия из
них

1

9

Аксиомы стереометрии и первые следствия из
них. Способы задания прямых и плоскостей в
пространстве. Обозначения прямых и
плоскостей

10

Изображение сечений пирамиды, куба и
призмы, которые проходят через их рёбра.
Изображение пересечения полученных
плоскостей. Раскрашивание построенных
сечений разными цветами

1

11

Изображение сечений пирамиды, куба и
призмы, которые проходят через их рёбра.
Изображение пересечения полученных
плоскостей. Раскрашивание построенных
сечений разными цветами

1

12

Изображение сечений пирамиды, куба и
призмы, которые проходят через их рёбра.
Изображение пересечения полученных
плоскостей. Раскрашивание построенных
сечений разными цветами

1

13

Изображение сечений пирамиды, куба и
призмы, которые проходят через их рёбра.
Изображение пересечения полученных
плоскостей. Раскрашивание построенных
сечений разными цветами

1

1

Теоремы Фалеса и о
пропорциональных отрезках.
Алгоритм деления отрезка на n
равных частей. Теорема Менелая.
Равнобедренный треугольник.
Равносторонний треугольник.
Прямоугольный треугольник.
Свойство средней линии
треугольника. Свойство
биссектрисы угла треугольника.
Свойство медиан треугольника.
Признаки подобия треугольников.
Получать представления об
основных этапах развития
геометрии как составной части
фундамента развития технологий

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

14

Метод следов для построения сечений

1

15

Метод следов для построения сечений.
Свойства пересечений прямых и плоскостей

1

16

Метод следов для построения сечений.
Свойства пересечений прямых и плоскостей

1

17

Построение сечений в пирамиде, кубе по трём
точкам на рёбрах. Создание выносных
чертежей и запись шагов построения

1

18

Построение сечений в пирамиде, кубе по трём
точкам на рёбрах. Создание выносных
чертежей и запись шагов построения

1

19

Построение сечений в пирамиде, кубе по трём
точкам на рёбрах. Создание выносных
чертежей и запись шагов построения

1

20

Построение сечений в пирамиде, кубе по трём
точкам на рёбрах. Создание выносных
чертежей и запись шагов построения

1

21

Повторение планиметрии: Теорема о
пропорциональных отрезках. Подобие
треугольников

1

22

Повторение планиметрии: Теорема Менелая.
Расчеты в сечениях на выносных чертежах.
История развития планиметрии и стереометрии

1

23

Контрольная работа "Аксиомы
стереометрии. Сечения"

1

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/lesson/2
503/start/

Раздел 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. 6 часов. КР -1, ПР –нет.

24

Взаимное расположение прямых в
пространстве. Скрещивающиеся прямые.
Признаки скрещивающихся прямых.
Параллельные прямые в пространстве

1

25

Теорема о существовании и единственности
прямой параллельной данной прямой,
проходящей через точку пространства и не
лежащей на данной прямой. Лемма о
пересечении параллельных прямых плоскостью

1

26

Параллельность трех прямых. Теорема о трёх
параллельных прямых. Теорема о
скрещивающихся прямых

1

27

Параллельное проектирование. Основные
свойства параллельного проектирования.
Изображение разных фигур в параллельной
проекции

1

28

Центральная проекция. Угол с
сонаправленными сторонами. Угол между
прямыми

1

29

Задачи на доказательство и исследование,
связанные с расположением прямых в
пространстве

1

Классифицировать взаимное
расположение прямых в
пространстве, иллюстрируя
рисунками и приводя примеры из
реальной жизни. Доказывать
теорему
о существовании и единственности
параллельной прямой, проходящей
через точку пространства и не
лежащей на другой прямой; лемму
о пересечении плоскости двумя
параллельными прямыми; теорему
о трёх параллельных прямых.
Доказывать признак
скрещивающихся прямых, теорему
о скрещивающихся прямых.
Доказывать теорему о равенстве
углов с сонаправленными
сторонами. Объяснять, что
называется параллельным и
центральным проектированием и
как выполняется проектирование
фигур на плоскость. Доказывать
свойства параллельного
проектирования.
Изображать в параллельной
проекции разные геометрические
фигуры.
Решать стереометрические задачи
на доказательство и исследование,
связанные с расположением прямых
в пространстве. Проводить
доказательные рассуждения при

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

решении геометрических задач,
связанных со взаимным
расположением прямых в
пространстве. Сравнивать,
анализировать и оценивать
утверждения с целью выявления
логически корректных и
некорректных рассуждений.
Моделировать реальные ситуации,
связанные со взаимным
расположением прямых в
пространстве, на языке геометрии.
Исследовать построенные модели с
использованием геометрических
понятий и теорем, аппарата
алгебры, цифровых ресурсов.
Получать представление о
центральном проектировании и об
истории работ по теории
перспективы
Раздел 3. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. 8 часов. КР – нет, ПР – нет.

30

Понятия: параллельность прямой и плоскости в
пространстве. Признак параллельности прямой
и плоскости. Свойства параллельности прямой
и плоскости

1

31

Геометрические задачи на вычисление и
доказательство, связанные с параллельностью
прямых и плоскостей в пространстве

1

32

Построение сечения, проходящего через
данную прямую на чертеже и параллельного
другой прямой. Расчёт отношений

1

Классифицировать взаимное
расположение прямой и плоскости
в пространстве, приводя
соответствующие примеры из
реальной жизни.
Формулировать определение
параллельных прямой и плоскости.
Доказывать признак о
параллельности прямой и
плоскости; свойства параллельности
прямой и плоскости.

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

Решать стереометрические задачи
вычисления и доказательство,
33
1
связанные с параллельностью
прямых и плоскостей в
пространстве. Решать практические
Параллельные плоскости. Признаки
34
1
задачи на построение сечений на
параллельности двух плоскостей
чертежах тетраэдра и
параллелепипеда. Решать
Теорема о параллельности и единственности
стереометрические задачи,
плоскости, проходящей через точку, не
35
1
связанные с построением сечений
принадлежащую данной плоскости и следствия
плоскостью.
из неё
Проводить логически корректные
Свойства параллельных плоскостей: о
доказательные рассуждения при
решении геометрических задач
параллельности прямых пересечения при
36
1
связанных с параллельностью
пересечении двух параллельных плоскостей
плоскостей.
третьей
Сравнивать и анализировать
реальные ситуации, связанные с
Свойства параллельных плоскостей: об
параллельностью прямой и
отрезках параллельных прямых, заключённых
плоскости в пространстве;
37
между параллельными плоскостями; о
1
моделировать реальные ситуации,
пересечении прямой с двумя параллельными
связанные с параллельностью
прямой и плоскости в пространстве,
плоскостями
на языке геометрии
Раздел 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. 25 часов. КР – 1, ПР – нет.
Параллельная проекция, применение для
построения сечений куба и параллелепипеда.
Свойства параллелепипеда и призмы

38

Повторение: теорема Пифагора на плоскости

1

39

Повторение: тригонометрия прямоугольного
треугольника

1

Актуализировать факты и методы
планиметрии, релевантные теме,
проводить аналогии.
Формулировать определения:
перпендикулярных прямых в
пространстве; определение прямой,

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/lesson/1
490/start/

40

Свойства куба и прямоугольного
параллелепипеда

1

41

Вычисление длин отрезков в кубе и
прямоугольном параллелепипеде

1

42

Перпендикулярность прямой и плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости

1

43

Перпендикулярность прямой и плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости

1

44

Теорема о существовании и единственности
прямой, проходящей через точку пространства
и перпендикулярной к плоскости

1

45

Плоскости и перпендикулярные им прямые в
многогранниках

1

46

Плоскости и перпендикулярные им прямые в
многогранниках

1

47

Перпендикуляр и наклонная. Построение
перпендикуляра из точки на прямую

1

48

Перпендикуляр и наклонная. Построение
перпендикуляра из точки на прямую

1

49

Теорема о трёх перпендикулярах (прямая и
обратная)

1

50

Теорема о трёх перпендикулярах (прямая и
обратная)

1

перпендикулярной к плоскости.
Доказывать: лемму о
перпендикулярности двух
параллельных прямых к третьей
прямой; теоремы о связи между
параллельностью прямых и их
перпендикулярностью к плоскости.
Доказывать: теорему, выражающую
признак перпендикулярности
прямой и плоскости; теорему
о существовании и единственности
прямой, проходящей через данную
точку и перпендикулярной к данной
плоскости.
Изображать взаимно
перпендикулярные прямую и
плоскость.
Формулировать свойство
перпендикуляра по отношению к
плоскости.
Получать представление о значении
перпендикуляра для других
областей науки (физика, энергетика,
лазерные технологии), в реальной
жизни (техника, окружающая
обстановка). Доказывать
утверждения, связанные с
проекцией прямой на плоскость,
неперпендикулярную к этой
прямой. Доказывать теорему о трёх
перпендикулярах и теорему
обратную теореме о трёх
перпендикулярах. Получать

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

51

Угол между скрещивающимися прямыми

1

52

Поиск перпендикулярных прямых с помощью
перпендикулярных плоскостей

1

53

Ортогональное проектирование

1

54

Построение сечений куба, призмы, правильной
пирамиды с помощью ортогональной проекции

1

55

Построение сечений куба, призмы, правильной
пирамиды с помощью ортогональной проекции

1

56

Симметрия в пространстве относительно
плоскости. Плоскости симметрий в
многогранниках

1

57

Признак перпендикулярности прямой и
плоскости как следствие симметрии

1

58

Правильные многогранники. Расчёт расстояний
от точки до плоскости

1

59

Правильные многогранники. Расчёт расстояний
от точки до плоскости

1

60

Способы опустить перпендикуляры:
симметрия, сдвиг точки по параллельной
прямой

1

61

Сдвиг по непараллельной прямой, изменение
расстояний

1

62

Контрольная работа "Взаимное расположение
прямых и плоскостей в пространстве"

1

Раздел 5. Углы и расстояния. 16 часов. КР – 1, ПР – нет.

представление об ортогональном
проектировании. Доказывать
теорему о проекции точки на
прямую.
Решать стереометрические задачи,
связанные с перпендикулярностью
прямой и плоскости. Решать
прикладные задачи, связанные с
нахождением геометрических
величин. Решать стереометрические
задачи, связанные с применением
теоремы о трёх перпендикулярах,
нахождением расстояний,
построением проекций. Сравнивать
и анализировать утверждения с
целью выявления логически
корректных и некорректных
рассуждений. Анализировать и
моделировать на языке геометрии
реальные ситуации, связанные
с перпендикулярностью прямой и
плоскости; исследовать
построенные модели, в том числе и
с использованием аппарата алгебры

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

63

Повторение: угол между прямыми на
плоскости, тригонометрия в произвольном
треугольнике, теорема косинусов

1

64

Повторение: угол между скрещивающимися
прямыми в пространстве

1

65

Геометрические методы вычисления угла
между прямыми в многогранниках

1

66

Двугранный угол. Свойство линейных углов
двугранного угла

1

67

Перпендикулярные плоскости. Свойства
взаимно перпендикулярных плоскостей

1

68

Признак перпендикулярности плоскостей;
теорема о прямой пересечения двух плоскостей
перпендикулярных третьей плоскости

1

69

Прямоугольный параллелепипед; куб;
измерения, свойства прямоугольного
параллелепипеда

1

70

Теорема о диагонали прямоугольного
параллелепипеда и следствие из неё

1

71

Стереометрические и прикладные задачи,
связанные со взаимным расположением
прямых и плоскости

1

72

Повторение: скрещивающиеся прямые,
параллельные плоскости в стандартных
многогранниках

1

Актуализировать факты и методы
планиметрии, релевантные теме,
проводить аналогии.
Формулировать определение
двугранного угла.
Доказывать свойство равенства всех
линейных углов двугранного угла.
Классифицировать двугранные углы
в зависимости от их градусной
меры. Формулировать определение
взаимно перпендикулярных
плоскостей. Доказывать теорему о
признаке перпендикулярности двух
плоскостей.
Формулировать следствие
(из признака) о перпендикулярности
плоскости, которая
перпендикулярна прямой, по
которой пересекаются две
плоскости, эти плоскостям.
Доказывать утверждения о его
свойствах; теорему и следствие из
неё о диагоналях прямоугольного
параллелепипеда.
Решать стереометрические задачи,
связанные с перпендикулярность
прямых и плоскостей, используя
планиметрические факты и методы.
Проводить логически корректные
доказательные рассуждения при
решении геометрических задач,

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/
https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

73

Пара параллельных плоскостей на
скрещивающихся прямых, расстояние между
скрещивающимися прямыми в простых
ситуациях

1

74

Расстояние от точки до плоскости, расстояние
от прямой до плоскости

1

75

Вычисление расстояний между
скрещивающимися прямыми с помощью
перпендикулярной плоскости

76

Трёхгранный угол, неравенства для
трехгранных углов. Теорема Пифагора,
теоремы косинусов и синусов для трёхгранного
угла

1

77

Элементы сферической геометрии:
геодезические линии на Земле

1

78

Контрольная работа "Углы и расстояния"

1

1

связанных с перпендикулярностью
плоскостей.
Анализировать и моделировать на
языке геометрии реальные
ситуации, связанные с
перпендикулярностью прямых и
плоскостей.
Исследовать построенные модели,
в том числе и с использованием
аппарата алгебры.
Решать прикладные задачи,
связанные с нахождением
геометрических величин

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

Раздел 6. Многогранники. 7 часов. КР – 1. ПР – нет.
79

Систематизация знаний "Многогранник и его
элементы"

80

Пирамида. Виды пирамид. Правильная
пирамида

1

81

Призма. Прямая и наклонная призмы.
Правильная призма

1

82

Прямой параллелепипед, прямоугольный
параллелепипед, куб

1

83

Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера

1

1

Работать с учебником: задавать
вопросы, делать замечания,
комментарии.
Анализировать решение задачи.
Рисовать выпуклые многогранники
с заданными свойствами;
восстанавливать общий вид
выпуклого многогранника по двум
его проекциям.
Доказывать свойства выпуклого
многогранника.
Рисовать выпуклые многогранники
с разной эйлеровой

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

84

Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.
Правильные и полуправильные многогранники

1

85

Контрольная работа "Многогранники"

1

характеристикой; исследовать
возможности получения результата
при варьировании данных.
Доказывать свойства правильных
многогранников. Планировать
построение правильных
многогранников на поверхностях
других правильных многогранников

Раздел 7. Векторы в пространстве. 12 часов. КР – нет, ПР – нет.
86

Понятие вектора на плоскости и в пространстве

1

87

Сумма векторов

1

88

Разность векторов

1

89

Правило параллелепипеда

1

90

Умножение вектора на число

1

91

Разложение вектора по базису трёх векторов,
не лежащих в одной плоскости

1

92

Скалярное произведение

1

93

Вычисление угла между векторами в
пространстве

1

94

Простейшие задачи с векторами

1

95

Простейшие задачи с векторами

1

96

Простейшие задачи с векторами

1

97

Простейшие задачи с векторами

1

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

Актуализировать факты и методы
планиметрии, релевантные теме,
проводить аналогии.
Оперировать понятиями: вектор на
плоскости и в пространстве;
компланарные векторы. Приводить
примеры физических векторных
величин.
Осваивать правила выполнения
действий сложения и вычитания
векторов, умножения вектора на
число.
Доказывать признак
компланарности трёх векторов.
Доказывать теорему о разложении
любого вектора по трём данным
некомпланарным векторам

Раздел 8. Повторение, обобщение и систематизация знаний. 5 часов. КР – 1, ПР – нет.

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

98

Обобщение и систематизация знаний

1

99

Обобщение и систематизация знаний

1

100

Итоговая контрольная работа

1

101

Обобщение и систематизация знаний

1

102

Обобщение и систематизация знаний

1

Решать стереометрические задачи
на доказательство математических
отношений, нахождение
геометрических величин (длин,
углов, площадей, объёмов).
Использовать при решении
стереометрических задач
планиметрические факты и методы.
Проводить логически корректные
доказательные рассуждения при
решении стереометрических и
планиметрических задач.
Сравнивать и анализировать
реальные ситуации и выявлять
возможность её моделирования на
языке геометрии.
Моделировать реальную ситуацию
на языке геометрии и исследовать
построенные модели, в том числе и
с использованием аппарата алгебры.
Использовать компьютерные
программы при решении задач.
Получать представление о
геометрии как о развивающейся
науке, исследующей окружающий
мир, связанной с реальными
объектами,
помогающей решить реальные
жизненные ситуации о роли
стереометрии в развитии
современных инженерных и
компьютерных технологий.
Сравнивать и анализировать
утверждения с целью выявления

https://resh.edu.r
u/subject/17/10/

https://media.pros
v.ru/ege/

логически корректных и
некорректных рассуждений.
Исследовать построенные модели.
Использовать цифровые ресурсы
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ

102

Тематическое планирование по учебному предмету «Геометрия»
(углубленный уровень)
11 КЛАСС
№
Тема
урок
а п/п

Количество
академичес
ких часов

Виды деятельности

Электронные цифровые
образовательные
ресурсы

Раздел 1. Аналитическая геометрия. 15 часов. КР – 1, ПР –нет.

1

Повторение
темы
"Координаты
вектора на
плоскости и в
пространстве"

2

Повторение
темы
"Скалярное
произведение
векторов"

3

Повторение
темы
"Вычисление
угла между
векторами в
пространстве"

1

4

Повторение
темы
"Уравнение
прямой,
проходящей
через две
точки"

1

5

Уравнение
плоскости,
нормаль,
уравнение
плоскости в
отрезках

1

6

Уравнение
плоскости,
нормаль,

1

1

1

Актуализировать
факты и методы
планиметрии,
релевантные теме,
проводить
аналогии.
Сводить действия с
векторами к
аналогичным
действиям с их
координатами.
Вспомнить
определение
скалярного
умножения и его
свойства.
Вычислять с
помощью
скалярного
умножения длины
векторов, углы
между ними,
устанавливать
перпендикулярност
ь векторов.
Выводить
уравнение
плоскости и
формулу
расстояния от
точки до
плоскости.
Решать задачи,
сочетая
координатный и
векторный методы.
Проводить
логически

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

уравнение
плоскости в
отрезках
7

Векторное
произведение

1

8

Линейные
неравенства,
линейное
программирова
ние

1

9

Линейные
неравенства,
линейное
программирова
ние

1

10

Аналитические
методы расчёта
угла между
прямыми в
многогранника
х

1

11

Аналитические
методы расчёта
угла между
плоскостями в
многогранника
х

1

12

Формула
расстояния от
точки до
плоскости в
координатах

1

13

Нахождение
расстояний от
точки до
плоскости в
кубе

1

14

Нахождение
расстояний от
точки до
плоскости в

1

корректные
доказательные
рассуждения при
решении
геометрических
задач на
применение
векторнокоординат
ного метода.
Анализировать и
моделировать на
языке геометрии
реальные
ситуации,
связанные
векторами и
координатами.
Исследовать
построенные
модели, в том
числе и с
использованием
аппарата алгебры.
Использовать
компьютерные
программы.
Знакомиться с
историей развития
математики

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

правильной
пирамиде

15

Контрольная
работа
"Аналитическа
я геометрия"

1

Раздел 2. Повторение, обобщение и систематизация знаний. 15 часов. КР – 1, ПР –
нет.

16

Сечения
многограннико
в: стандартные
многогранники

1

17

Сечения
многограннико
в: метод следов

1

18

Сечения
многограннико
в: стандартные
плоскости,
пересечения
прямых и
плоскостей

1

19

Параллельные
прямые и
плоскости:
параллельные
сечения

1

20

Параллельные
прямые и
плоскости:
расчёт
отношений

1

21

Параллельные
прямые и
плоскости:
углы между
скрещивающим
ися прямыми

1

22

Перпендикуляр
ные прямые и
плоскости:
стандартные

1

Строить сечения.
Решать
стереометрические
задачи на
доказательство
математических
отношений,
нахождение
геометрических
величин (длин,
углов, площадей,
объёмов).
Использовать при
решении
стереометрических
задач
планиметрические
факты и методы.
Проводить
логически
корректные
доказательные
рассуждения при
решении
стереометрических
задач.
Сравнивать и
анализировать
реальные ситуации
и выявлять
возможность её
моделирования на
языке геометрии.
Моделировать
реальную
ситуацию на языке
геометрии и
исследовать
построенные
модели, в том

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

числе и с
использованием
аппарата алгебры.
Использовать
компьютерные
программы при
решении задач

пары
перпендикуляр
ных плоскостей
и прямых,
симметрии
многограннико
в

23

Перпендикуляр
ные прямые и
плоскости:
теорема о трех
перпендикуляр
ах

1

24

Перпендикуляр
ные прямые и
плоскости:
вычисления
длин в
многогранника
х

1

25

Повторение:
площади
многоугольник
ов, формулы
для площадей,
соображения
подобия

1

26

Повторение:
площади
многоугольник
ов, формулы
для площадей,
соображения
подобия

1

27

Повторение:
площади
многоугольник
ов, формулы
для площадей,
соображения
подобия

1

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://media.prosv.ru/ege/

28

Площади
сечений
многограннико
в: площади
поверхностей,
разрезания на
части,
соображения
подобия

1

29

Площади
сечений
многограннико
в: площади
поверхностей,
разрезания на
части,
соображения
подобия

1

30

Контрольная
работа
"Повторение:
многогранники,
сечения
многогранников
"

1

https://media.prosv.ru/ege/

Раздел 3. Объём многогранника. 17 часов. КР – 1. ПР – нет.

31

Объём тела.
Объем
прямоугольног
о
параллелепипед
а

1

32

Задачи об
удвоении куба,
о квадратуре
куба; о
трисекции угла

1

33

Стереометриче
ские задачи,
связанные с
объёмом
прямоугольног

1

Свободно
оперировать
понятиями: объём
тела, объём
прямоугольного
параллелепипеда.
Формулировать
основные свойства
объёмов.
Доказывать
теорему об объёме
прямоугольного
параллелепипеда,
следствия из неё.
Разрезать
многогранники,
перекладывать
части.

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

о
параллелепипед
а

34

Прикладные
задачи,
связанные с
вычислением
объёма
прямоугольног
о
параллелепипед
а

35

Объём прямой
призмы

1

36

Стереометриче
ские задачи,
связанные с
вычислением
объёмов
прямой призмы

1

37

Прикладные
задачи,
связанные с
объёмом
прямой призмы

1

38

Вычисление
объёмов тел с
помощью
определённого
интеграла.
Объём
наклонной
призмы

1

39

Вычисление
объёмов тел с
помощью
определённого
интеграла.
Объём
пирамиды

1

1

Решать
стереометрические
задачи, связанные с
вычислением
объёма
прямоугольного
параллелепипеда,
призмы.
Сравнивать и
анализировать
утверждения с
целью выявления
логически
корректных и
некорректных
рассуждений.
Анализировать и
моделировать на
языке геометрии
реальные
ситуации,
связанные с
объёмом
прямоугольного
параллелепипеда,
призмы, пирамиды.
Исследовать
построенные
модели, в том
числе и с
использованием
аппарата алгебры.
Выводить
основную
интегральную
формулу для
вычисления
объёмов тел.
Доказывать
теорему об объёме
наклонной призмы
на примере
треугольной
призмы и для
произвольной
призмы.
Доказывать
теорему: об объёме

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

40

Формула
объёма
пирамиды.
Отношение
объемов
пирамид с
общим углом

1

41

Формула
объёма
пирамиды.
Отношение
объемов
пирамид с
общим углом

1

42

Стереометриче
ские задачи,
связанные с
объёмами
наклонной
призмы

1

43

Стереометриче
ские задачи,
связанные с
объёмами
пирамиды

1

44

Прикладные
задачи по теме
"Объёмы тел",
связанные с
объёмом
наклонной
призмы

1

45

Прикладные
задачи по теме
"Объёмы тел",
связанные с
объёмом
пирамиды

1

46

Применение
объёмов.
Вычисление

1

пирамиды,
формулировать
следствия из нее:
объём усечённой
пирамиды.
Выводить формулу
для вычисления
объёмов усечённой
пирамиды

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

расстояния до
плоскости
47

Контрольная
работа "Объём
многогранника"

1

Раздел 4. Тела вращения. 24 часа. КР – 1, ПР – нет.

48

Цилиндрическа
я поверхность,
образующие
цилиндрическо
й поверхности

1

49

Цилиндр.
Прямой
круговой
цилиндр.
Площадь
поверхности
цилиндра

1

50

Коническая
поверхность,
образующие
конической
поверхности.
Конус

1

51

Сечение конуса
плоскостью,
параллельной
плоскости
основания

1

52

Усечённый
конус.
Изображение
конусов и
усечённых
конусов

1

53

Площадь
боковой
поверхности и
полной
поверхности
конуса

1

Свободно
оперировать
понятиями:
цилиндрическая
поверхность,
цилиндр. Изучать
способы получения
цилиндрической
поверхности,
цилиндра.
Изображать
цилиндр и его
сечения
плоскостью.
Свободно
оперировать
понятиями:
коническая
поверхность,
конус, усечённый
конус. Изучать
способы получения
конической
поверхности,
конуса.
Изображать конус
и его сечения
плоскостью,
проходящей через
ось, и плоскостью,
перпендикулярной
к оси.
Выводить
формулы для
вычисления
боковой и полной
поверхностей тел
вращения. Решать
стереометрические
задачи, связанные с
телами вращения,

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

54

Площадь
боковой
поверхности и
полной
поверхности
конуса

55

Стереометриче
ские задачи на
доказательство
и вычисление,
построением
сечений
цилиндра,
конуса

1

56

Стереометриче
ские задачи на
доказательство
и вычисление,
построением
сечений
цилиндра,
конуса

1

57

Прикладные
задачи,
связанные с
цилиндром

58

Прикладные
задачи,
связанные с
цилиндром

1

1

1

59

Сфера и шар

1

60

Пересечение
сферы и шара с
плоскостью.
Касание шара и
сферы
плоскостью.
Вид и
изображение
шара

1

нахождением
площади боковой и
полной
поверхности,
построением
сечений.
Использовать при
решении задач
планиметрические
факты и методы.
Сравнивать и
анализировать
утверждения с
целью выявления
логически
корректных и
некорректных
рассуждений.
Анализировать и
моделировать на
языке геометрии
реальные
ситуации,
связанные с
конусом и
цилиндром.
Исследовать
построенные
модели, в том
числе и с
использованием
аппарата алгебры
Актуализировать
факты и методы
планиметрии,
релевантные теме,
проводить
аналогии.
Свободно
оперировать
понятиями: сфера и
шар, центр, радиус,
диаметр сферы и
шара.
Исследовать
взаимное
расположение
сферы и плоскости.

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://media.prosv.ru/ege/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

61

Пересечение
сферы и шара с
плоскостью.
Касание шара и
сферы
плоскостью.
Вид и
изображение
шара

62

Уравнение
сферы.
Площадь сферы
и её частей

1

63

Симметрия
сферы и шара

1

64

Стереометриче
ские задачи на
доказательство
и вычисление,
связанные со
сферой и
шаром,
построением их
сечений
плоскостью

1

65

Стереометриче
ские задачи на
доказательство
и вычисление,
связанные со
сферой и
шаром,
построением их
сечений
плоскостью

1

66

Прикладные
задачи,
связанные со
сферой и
шаром

1

67

Повторение:
окружность на

1

1

Формулировать
определение
касательной
плоскости к сфере.
Доказывать
теоремы о свойстве
и признаке
касательной
плоскости.
Выводить формулу
для вычисления
площади сферы
через радиус
сферы. Решать
стереометрические
задачи, связанные
со сферой и шаром,
нахождением
площади сферы и
её частей,
построением
сечений сферы и
шара.
Анализировать и
моделировать на
языке геометрии
реальные
ситуации,
связанные с шаром
и сферой.
Решать простые
задачи, в которых
фигурируют
комбинации тел
вращения и
многогранников.
Использовать при
решении задач,
связанных со
сферой и шаром,
планиметрические
факты и методы.
Решать
стереометрические
задачи, связанные с
телами вращения,
построением
сечений тел
вращения, с

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://media.prosv.ru/ege/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/9/

комбинациями тел
вращения и
многогранников.
Проводить
логически
корректные
Различные
доказательные
рассуждения при
комбинации тел
решении
68
вращения и
1
геометрических
многограннико
задач, связанных с
в
перпендикулярност
Задачи по теме
ью плоскостей.
Анализировать и
"Тела и
69
1
моделировать на
поверхности
языке геометрии
вращения"
реальные
Задачи по теме
ситуации,
"Тела и
связанные с
70
1
поверхности
многогранниками.
Исследовать
вращения"
построенные
Контрольная
модели, в том
работа "Тела и
числе и с
71
1
поверхности
использованием
вращения"
аппарата алгебры
Раздел 5. Площади поверхности и объёмы круглых тел. 9 часов. КР – 1, ПР – нет.
плоскости,
вычисления в
окружности,
стандартные
подобия

72

Объём
цилиндра.
Теорема об
объёме прямого
цилиндра

73

Вычисление
объёмов тел с
помощью
определённого
интеграла.
Объём конуса

74

Площади
боковой и
полной
поверхности
конуса

1

75

Стереометриче
ские задачи,
связанные с

1

1

1

Свободно
оперировать
понятиями: объём
тела, площадь
поверхности.
Формулировать
основные свойства
объёмов.
Доказывать
теоремы: об
объёме цилиндра;
об объёме конуса.
Выводить
формулы для
вычисления объёма
усечённого конуса.
Исследовать
построенные
модели, в том
числе и с
использованием
аппарата алгебры.

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

вычислением
объёмов
цилиндра,
конуса

76

Прикладные
задачи по теме
"Объёмы и
площади
поверхностей
тел"

77

Объём шара и
шарового
сектора.
Теорема об
объёме шара.
Площадь
сферы.
Стереометриче
ские задачи,
связанные с
вычислением
объёмов шара,
шарового
сегмента и
шарового
сектора

1

78

Прикладные
задачи по теме
"Объёмы тел",
связанные с
объёмом шара
и площадью
сферы.
Соотношения
между
площадями
поверхностей и
объёмами
подобных тел

1

79

Подобные тела
в пространстве.
Изменение

1

1

Знать возможности
решения задач на
построение
циркулем и
линейкой, о
классических
неразрешимых
задачах.
Свободно
оперировать
понятиями:
шаровой сегмент,
шаровой слой,
шаровой сектор,
основание и высота
сегмента,
основание и высота
шарового слоя.
Выводить
формулы для
нахождения
объёмов шарового
сегмента, шарового
сектора, площади
сферы. Доказывать
теорему об объёме
шара. Решать
стереометрические
задачи, связанные с
объёмом шара,
шарового сегмента,
шарового сектора,
площадью сферы.
Сравнивать и
анализировать
утверждения с
целью выявления
логически
корректных и
некорректных
рассуждений.
Анализировать и
моделировать на
языке геометрии
реальные
ситуации,
связанные с
объёмом шара,
шарового сегмента,

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

объёма при
подобии.
Стереометриче
ские задачи,
связанные с
вычислением
объёмов тел и
площадей
поверхностей

80

Контрольная
работа
"Площади
поверхности и
объёмы круглых
тел"

1

шарового сегмента,
площадью сферы.
Свободно
оперировать
понятием:
подобные тела в
пространстве.
Вычислять объёмы
тел с помощью
определённого
интеграла.
Решать
стереометрические
задачи, связанные с
соотношениями
между площадями
поверхностей и
объёмами
подобных тел.
Проводить
логически
корректные
доказательные
рассуждения при
решении
геометрических
задач, связанных с
вычислением
объёмов тел с
помощью
определённого
интеграла,
нахождением
соотношения
между площадями
поверхностей и
объёмами
подобных тел.
Анализировать и
моделировать на
языке геометрии
реальные
ситуации,
связанные с
объёмами и
поверхностями тел,
на доказательство
и на нахождение

геометрических
величин
Раздел 6. Движения. 5 часов. КР – 1, ПР – нет.
Применять правила
Движения
выполнения
пространства.
действий сложения
Отображения.
и вычитания
Движения и
векторов,
81
1
равенство
умножения вектора
фигур. Общие
на число при
свойства
решении задач.
Находить
движений
координаты
Виды
вектора в данном
движений:
базисе и строить
параллельный
вектор по его
перенос,
координатам.
центральная
Вспомнить
82
1
определение
симметрия,
скалярного
зеркальная
умножения и его
симметрия,
свойства.
поворот вокруг
Вычислять с
прямой
помощью
скалярного
Преобразовани
умножения длины
я подобия.
83
1
векторов, углы
Прямая и сфера
между ними,
Эйлера
устанавливать
Геометрически
перпендикулярност
е задачи на
ь векторов.
84
1
Анализировать и
применение
моделировать на
движения
языке геометрии
реальные
ситуации,
связанные с
физическими
векторными
величинами.
Контрольная
Использовать при
работа
85
1
решении задач,
"Векторы в
связанных с
пространстве"
векторами в
пространстве,
планиметрические
факты и методы.
Свободно
оперировать

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/

понятиями:
отображение
пространства на
себя, движение
пространства;
центральная,
осевая и
зеркальная
симметрии,
параллельный
перенос; равенство
и подобие фигур.
Доказывать
утверждения о том,
что центральная,
осевая и
зеркальная
симметрии,
параллельный
перенос являются
движениями.
Выполнять
преобразования
подобия.
Оперировать
понятиями: прямая
и сфера Эйлера.
Решать
геометрические
задачи с
использованием
движений.
Использовать при
решении задач
движения
пространства и их
свойства
Раздел 7. Повторение, обобщение и систематизация знаний. 15 часов. КР – 2, ПР –
нет.

86

Обобщающее
повторение
понятий и
методов курса
геометрии 10–
11 классов,
систематизация
знаний:

1

Решать
стереометрические
задачи на
доказательство
математических
отношений,
нахождение
геометрических
величин (длин,

https://media.prosv.ru/ege/

"Параллельност
ь прямых и
плоскостей в
пространстве"

87

Обобщающее
повторение
понятий и
методов курса
геометрии 10–
11 классов,
систематизация
знаний:
"Векторы в
пространстве"

1

88

Обобщающее
повторение 11
понятий и
методов курса
геометрии 10–
11 классов,
систематизация
знаний:
"Векторы в
пространстве"

1

89

Обобщающее
повторение
понятий и
методов курса
геометрии 10–
11 классов,
систематизация
знаний: "Объем
многогранника"

1

90

Обобщающее
повторение
понятий и
методов курса
геометрии 10–
11 классов,
систематизация
знаний: "Объем
многогранника"

1

углов, площадей,
объёмов).
Использовать при
решении
стереометрических
задач
планиметрические
факты и методы.
Проводить
логически
корректные
доказательные
рассуждения при
решении
стереометрических
и
планиметрических
задач. Сравнивать
и анализировать
реальные ситуации
и выявлять
возможность её
моделирования на
языке геометрии.
Моделировать
реальную
ситуацию на языке
геометрии и
исследовать
построенные
модели, в том
числе и с
использованием
аппарата алгебры.
Использовать
компьютерные
программы при
решении задач.
Получать
представление о
геометрии как о
развивающейся
науке,
исследующей
окружающий мир,
связанной с
реальными
объектами,
помогающей

https://media.prosv.ru/ege/

https://media.prosv.ru/ege/

91

Обобщающее
повторение
понятий и
методов курса
геометрии 10–
11 классов,
систематизация
знаний:
"Площади
поверхности и
объёмы
круглых тел"

92

Обобщающее
повторение
понятий и
методов курса
геометрии 10–
11 классов,
систематизация
знаний:
"Площади
поверхности и
объёмы
круглых тел"

1

93

Итоговая
контрольная
работа

1

94

Итоговая
контрольная
работа

1

95

Повторение,
обобщение и
систематизация
знаний

1

96

97

Повторение,
обобщение и
систематизация
знаний
Повторение,
обобщение и

1

1

решить реальные
жизненные
ситуации о роли
стереометрии в
развитии
современных
инженерных и
компьютерных
технологий

https://resh.edu.ru/subject/
17/11/
https://resh.edu.ru/subject/
17/10/

https://media.prosv.ru/ege/

систематизация
знаний

98

Повторение,
обобщение и
систематизация
знаний

1

99

История
развития
стереометрии
как науки и её
роль в развитии
современных
инженерных и
компьютерных
технологий

1

100

История
развития
стереометрии
как науки и её
роль в развитии
современных
инженерных и
компьютерных
технологий

1

101

История
развития
стереометрии
как науки и её
роль в развитии
современных
инженерных и
компьютерных
технологий

1

102

История
развития
стереометрии
как науки и её
роль в развитии
современных
инженерных и

1

компьютерных
технологий
ОБЩЕЕ
КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ

102

ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
10 КЛАСС

Код
проверяемого
результата
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11

7.12

7.13

7.14
7.15

Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
программы среднего общего образования
Геометрия
Оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость
Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении
геометрических задач
Оперировать понятиями: параллельность и перпендикулярность прямых и
плоскостей
Классифицировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Оперировать понятиями: двугранный угол, грани двугранного угла, ребро
двугранного угла, линейный угол двугранного угла, градусная мера двугранного
угла
Оперировать понятиями: многогранник, выпуклый и невыпуклый многогранник,
элементы многогранника, правильный многогранник
Распознавать основные виды многогранников (пирамида, призма, прямоугольный
параллелепипед, куб)
Классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации
(выпуклые и невыпуклые многогранники, правильные многогранники, прямые и
наклонные призмы, параллелепипеды)
Оперировать понятиями: секущая плоскость, сечение многогранников
Объяснять принципы построения сечений многогранников, используя метод
следов
Строить сечения многогранников методом следов, выполнять (выносные) плоские
чертежи из рисунков простых объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или
алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении
стандартных математических задач на вычисление расстояний между двумя
точками,
от
точки
до
прямой,
от
точки
до плоскости, между скрещивающимися прямыми
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или
алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении
стандартных
математических
задач
на
вычисление
углов
между
скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями,
двугранных углов
Вычислять объёмы и площади поверхностей многогранников (призма, пирамида)
с применением формул, вычислять соотношения между площадями
поверхностей, объёмами подобных многогранников
Оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость
симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры

Код
проверяемого
результата

7.16

7.17
7.18
7.19

7.20

Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
программы среднего общего образования
Извлекать,
преобразовывать
и
интерпретировать
информацию
о
пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах
и рисунках
Применять геометрические факты для решения стереометрических задач,
предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в
явной форме
Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные
системы при решении стереометрических задач
Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни,
распознавать проявление законов геометрии в искусстве
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и
применять изученные понятия в процессе поиска решения математически
сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических
понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с
нахождением геометрических величин

11 КЛАСС
Код
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
проверяемого
программы среднего общего образования
результата
6
Геометрия
Оперировать
понятиями:
цилиндрическая
поверхность,
образующие
6.1
цилиндрической поверхности, цилиндр, коническая поверхность, образующие
конической поверхности, конус, сферическая поверхность
6.2
Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар)
6.3
Объяснять способы получения тел вращения
6.4
Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости
Оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сегмента, высота сегмента,
6.5
шаровой слой, основание шарового слоя, высота шарового слоя, шаровой сектор
Вычислять объёмы и площади поверхностей тел вращения, геометрических тел с
6.6
применением формул
Оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу и описанный около
6.7
сферы, сфера, вписанная в многогранник или тело вращения
Вычислять соотношения между площадями поверхностей и объёмами подобных
6.8
тел
Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых чертёжных
6.9
инструментов
Выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объёмных фигур:
6.10
вид сверху, сбоку, снизу; строить сечения тел вращения

Код
проверяемого
результата
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22

6.23

Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
программы среднего общего образования
Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о пространственных
геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках
Применять геометрические факты для решения стереометрических задач,
предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в
явной форме
Оперировать понятием: вектор в пространстве
Выполнять действия сложения векторов, вычитания векторов и умножения
вектора на число, объяснять, какими свойствами они обладают
Применять правило параллелепипеда при сложении векторов
Оперировать понятиями: декартовы координаты в пространстве, вектор, модуль
вектора, равенство векторов, координаты вектора, угол между векторами,
скалярное произведение векторов, коллинеарные и компланарные векторы
Находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол между векторами,
скалярное произведение, раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам
Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат
Решать простейшие геометрические задачи на применение векторнокоординатного метода
Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение
геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя известные
методы при решении стандартных математических задач
Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные
системы при решении стереометрических задач
Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни,
распознавать проявление законов геометрии в искусстве
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и
применять изученные понятия в процессе поиска решения математически
сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических
понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с
нахождением геометрических величин

ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
10 КЛАСС

Код
проверяемого
результата
7

Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
программы среднего общего образования
Геометрия

Код
проверяемого
результата
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11

7.12

7.13

7.14
7.15
7.16

7.17

Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
программы среднего общего образования
Оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость
Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении
геометрических задач
Оперировать понятиями: параллельность и перпендикулярность прямых и
плоскостей
Классифицировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Оперировать понятиями: двугранный угол, грани двугранного угла, ребро
двугранного угла, линейный угол двугранного угла, градусная мера двугранного
угла
Оперировать понятиями: многогранник, выпуклый и невыпуклый многогранник,
элементы многогранника, правильный многогранник
Распознавать основные виды многогранников (пирамида, призма, прямоугольный
параллелепипед, куб)
Классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации
(выпуклые и невыпуклые многогранники, правильные многогранники, прямые и
наклонные призмы, параллелепипеды)
Оперировать понятиями: секущая плоскость, сечение многогранников
Объяснять принципы построения сечений многогранников, используя метод
следов
Строить сечения многогранников методом следов, выполнять (выносные) плоские
чертежи из рисунков простых объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или
алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении
стандартных математических задач на вычисление расстояний между двумя
точками,
от
точки
до
прямой,
от
точки
до плоскости, между скрещивающимися прямыми
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или
алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении
стандартных
математических
задач
на
вычисление
углов
между
скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями,
двугранных углов
Вычислять объёмы и площади поверхностей многогранников (призма, пирамида)
с применением формул, вычислять соотношения между площадями
поверхностей, объёмами подобных многогранников
Оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость
симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры
Извлекать,
преобразовывать
и
интерпретировать
информацию
о
пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах
и рисунках
Применять геометрические факты для решения стереометрических задач,
предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в
явной форме

Код
проверяемого
результата
7.18
7.19

7.20

Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
программы среднего общего образования
Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные
системы при решении стереометрических задач
Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни,
распознавать проявление законов геометрии в искусстве
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и
применять изученные понятия в процессе поиска решения математически
сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических
понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с
нахождением геометрических величин

11 КЛАСС
Код
Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
проверяемого
программы среднего общего образования
результата
6
Геометрия
Оперировать
понятиями:
цилиндрическая
поверхность,
образующие
6.1
цилиндрической поверхности, цилиндр, коническая поверхность, образующие
конической поверхности, конус, сферическая поверхность
6.2
Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар)
6.3
Объяснять способы получения тел вращения
6.4
Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости
Оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сегмента, высота сегмента,
6.5
шаровой слой, основание шарового слоя, высота шарового слоя, шаровой сектор
Вычислять объёмы и площади поверхностей тел вращения, геометрических тел с
6.6
применением формул
Оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу и описанный около
6.7
сферы, сфера, вписанная в многогранник или тело вращения
Вычислять соотношения между площадями поверхностей и объёмами подобных
6.8
тел
Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых чертёжных
6.9
инструментов
Выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объёмных фигур:
6.10
вид сверху, сбоку, снизу; строить сечения тел вращения
Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о пространственных
6.11
геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках
Применять геометрические факты для решения стереометрических задач,
6.12
предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в
явной форме
6.13
Оперировать понятием: вектор в пространстве

Код
проверяемого
результата

Проверяемые предметные результаты освоения основной образовательной
программы среднего общего образования

6.14

Выполнять действия сложения векторов, вычитания векторов и умножения
вектора на число, объяснять, какими свойствами они обладают

6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22

6.23

Применять правило параллелепипеда при сложении векторов
Оперировать понятиями: декартовы координаты в пространстве, вектор, модуль
вектора, равенство векторов, координаты вектора, угол между векторами,
скалярное произведение векторов, коллинеарные и компланарные векторы
Находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол между векторами,
скалярное произведение, раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам
Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат
Решать простейшие геометрические задачи на применение векторнокоординатного метода
Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение
геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя известные
методы при решении стандартных математических задач
Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные
системы при решении стереометрических задач
Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни,
распознавать проявление законов геометрии в искусстве
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и
применять изученные понятия в процессе поиска решения математически
сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических
понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с
нахождением геометрических величин

ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
10 КЛАСС
Код

Проверяемый элемент содержания

7

Геометрия
Основные понятия стереометрии. Точка, прямая, плоскость, пространство. Понятие об
аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них
Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве: параллельные
прямые в пространстве, параллельность трёх прямых, параллельность прямой и плоскости.
Углы
с сонаправленными сторонами, угол между прямыми в пространстве. Параллельность
плоскостей: параллельные плоскости, свойства параллельных плоскостей. Простейшие
пространственные фигуры на плоскости: тетраэдр, куб, параллелепипед, построение
сечений

7.1

7.2

Код

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

Проверяемый элемент содержания
Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в пространстве,
прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности
прямой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной плоскости. Углы в пространстве:
угол между прямой и плоскостью, двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до
плоскости, проекция фигуры на плоскость. Перпендикулярность плоскостей: признак
перпендикулярности двух плоскостей. Теорема о трёх перпендикулярах
Понятие многогранника, основные элементы многогранника, выпуклые и невыпуклые
многогранники, развёртка многогранника. Призма: n-угольная призма, грани и основания
призмы, прямая и наклонная призмы, боковая и полная поверхность призмы. Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и его свойства. Пирамида: n-угольная пирамида,
грани и основание пирамиды, боковая и полная поверхность пирамиды, правильная
и усечённая пирамида. Элементы призмы и пирамиды. Правильные многогранники:
понятие правильного многогранника, правильная призма и правильная пирамида, правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр, куб. Представление о правильных
многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэдругие Сечения призмы и пирамиды
Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки, прямой, плоскости. Элементы
симметрии в пирамидах, параллелепипедах, правильных многогранниках
Вычисление элементов многогранников: рёбра, диагонали, углы. Площадь боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь оснований, теорема о боковой
поверхности прямой призмы. Площадь боковой поверхности и поверхности правильной
пирамиды, теорема о площади усечённой пирамиды. Понятие об объёме. Объём пирамиды,
призмы
Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей, объёмами
подобных тел

11 КЛАСС
Код
6
6.1

6.2

6.3
6.4
6.5
6.6

Проверяемый элемент содержания
Геометрия
Цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности, ось
цилиндрической поверхности. Цилиндр: основания и боковая поверхность, образующая
и ось, площадь боковой и полной поверхности
Коническая поверхность, образующие конической поверхности, ось и вершина конической поверхности. Конус: основание и вершина, образующая и ось, площадь боковой
и полной поверхности. Усечённый конус: образующие и высота, основания и боковая
поверхность
Сфера и шар: центр, радиус, диаметр, площадь поверхности сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере, площадь сферы
Изображение тел вращения на плоскости. Развёртка цилиндра и конуса
Комбинации тел вращения и многогранников. Многогранник, описанный около сферы,
сфера, вписанная в многогранник, или тело вращения
Понятие об объёме. Основные свойства объёмов тел. Теорема об объёме
прямоугольного параллелепипеда и следствия из неё. Объём цилиндра, конуса. Объём
шара и площадь сферы

Код
6.7
6.8

6.9

6.10

Проверяемый элемент содержания
Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадями поверхностей,
объёмами подобных тел
Сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельное
основанию и проходящее через вершину), сечения шара
Вектор на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение
вектора на число. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Правило
параллелепипеда. Решение задач, связанных с применением правил действий с
векторами
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Простейшие
задачи в координатах. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Вычисление углов между прямыми и плоскостями. Координатно-векторный метод при
решении геометрических задач

ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К
РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код
проверяемого
требования

1

2

3

Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач;
умение формулировать и оперировать понятиями: определение,
аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство,
равносильные формулировки; применять их; умение формулировать
обратное и противоположное утверждение, приводить примеры и
контрпримеры, использовать метод математической индукции;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать
логическую правильность рассуждений; умение оперировать
понятиями: множество, подмножество, операции над множествами;
умение использовать теоретико-множественный аппарат для
описания реальных процессов и явлений и при решении задач, в том
числе из других учебных предметов; умение оперировать понятиями:
граф, связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение задавать
и описывать графы различными способами; использовать графы при
решении задач
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число,
степень с целым показателем, корень натуральной степени, степень с
рациональным показателем, степень с действительным показателем,
логарифм числа, синус, косинус и тангенс произвольного числа,
остаток по модулю, рациональное число, иррациональное число,
множества натуральных, целых, рациональных, действительных
чисел; умение использовать признаки делимости, наименьший общий
делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида при
решении задач; знакомство с различными позиционными системами
счисления; умение выполнять вычисление значений и преобразования
выражений со степенями и логарифмами, преобразования дробнорациональных выражений; умение оперировать понятиями:
последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая
прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;
умение задавать последовательности, в том числе с помощью
рекуррентных формул; умение оперировать понятиями: комплексное
число, сопряжённые комплексные числа, модуль и аргумент
комплексного числа, форма записи
комплексных
чисел
(геометрическая, тригонометрическая и алгебраическая); уметь
производить арифметические действия с комплексными числами;
приводить примеры использования комплексных чисел; оперировать
понятиями: матрица 2×2 и 3×3, определитель матрицы,
геометрический смысл определителя
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические
уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать
понятиями: тождество, тождественное преобразование, уравнение,

Код
проверяемого
требования

4

5

6

Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность
уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения,
неравенства и системы с помощью различных приёмов; решать
уравнения, неравенства и системы с параметром; применять
уравнения, неравенства, их системы для решения математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции,
периодичность функции, ограниченность функции, монотонность
функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика
функции, первая и вторая производная функции, геометрический и
физический смысл производной, первообразная, определённый
интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение
вычислять производные суммы, произведения, частного и
композиции функций, находить уравнение касательной к графику
функции; умение находить производные элементарных функций;
умение использовать производную для исследования функций,
находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить
графики многочленов с использованием аппарата математического
анализа; применять производную для нахождения наилучшего
решения в прикладных, в том числе социально-экономических и
физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощью
интеграла; приводить примеры математического моделирования с
помощью дифференциальных уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция,
композиция функций, линейная функция, квадратичная функция,
рациональная функция, степенная функция, тригонометрические
функции, обратные тригонометрические функции, показательная
и логарифмическая функции; умение строить графики изученных
функций,
выполнять
преобразования
графиков
функций,
использовать графики для изучения процессов и зависимостей, при
решении задач из других учебных предметов и задач из реальной
жизни; выражать формулами зависимости между величинами;
использовать
свойства
и графики функций для решения уравнений, неравенств и задач
с параметрами; изображать на координатной плоскости множества
решений уравнений, неравенств и их систем
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на
проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и
услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными
финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их
системы по условию задачи, исследовать полученное решение и
оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать
реальные ситуации на языке математики; составлять выражения,
уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать
построенные
модели
с использованием
аппарата
алгебры,
интерпретировать полученный результат

Код
проверяемого
требования

7

8

9

10

Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках,
отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять
информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать
статистические данные, в том числе с применением графических
методов и электронных средств; графически исследовать совместные
наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное
событие, вероятность случайного события; умение вычислять
вероятность с использованием графических методов; применять
формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной
вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы;
оценивать вероятности реальных событий; умение оперировать
понятиями: случайная величина, распределение вероятностей,
математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
случайной величины, функции распределения и плотности
равномерного, показательного и нормального распределений; умение
использовать свойства изученных распределений для решения задач;
знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы выборочных
исследований; умение приводить примеры проявления закона
больших чисел в природных и общественных явлениях; умение
оперировать понятиями: сочетание, перестановка, число сочетаний,
число перестановок; бином Ньютона; умение применять
комбинаторные факты и рассуждения для решения задач; оценивать
вероятности реальных событий; составлять вероятностную модель и
интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость,
пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный
угол, трёхгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и
перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми, угол
между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, расстояние от
точки до плоскости, расстояние между прямыми, расстояние между
плоскостями; умение использовать при решении задач изученные
факты и теоремы планиметрии; умение оценивать размеры объектов
окружающего мира; строить математические модели с помощью
геометрических понятий и величин, решать связанные с ними
практические задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объём фигуры,
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника,
куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность
вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь
поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объём куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара, развёртка поверхности, сечения конуса и цилиндра,
параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость,

Код
проверяемого
требования

11

12

13

Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение
многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности
вращения, их сечения, в том числе с помощью электронных средств;
умение применять свойства геометрических фигур, самостоятельно
формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о
свойствах и признаках геометрических фигур, обосновывать или
опровергать их; умение проводить классификацию фигур по
различным признакам, выполнять необходимые дополнительные
построения
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве,
параллельный перенос, симметрия на плоскости и в пространстве,
поворот, преобразование подобия, подобные фигуры; умение
распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе,
искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения при
решении задач; находить геометрические величины (длина, угол,
площадь, объём) при решении задач из других учебных предметов и
из реальной жизни; умение вычислять геометрические величины
(длина, угол, площадь, объём, площадь поверхности), используя
изученные формулы и методы, в том числе: площадь поверхности
пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объём куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара; умение находить отношение объёмов подобных фигур
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат,
вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов,
произведение вектора на число, разложение вектора по базису,
скалярное произведение, векторное произведение, угол между
векторами; умение использовать векторный и координатный метод
для решения геометрических задач и задач других учебных предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание
значимости математики в изучении природных и общественных
процессов и явлений; умение распознавать проявление законов
математики в искусстве, умение приводить примеры математических
открытий российской и мировой математической науки

ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ЕГЭ ПО
МАТЕМАТИКЕ
Код
1
1.1
1.2
1.3
1.4

Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени

Код
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
3
3.1

3.2

3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
4
4.1
4.2
4.3
5
5.1
5.2
6
6.1

Проверяемый элемент содержания
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и
оценка результата вычислений
Преобразование выражений
Комплексные числа
Уравнения и неравенства
Целые и дробно-рациональные уравнения
Иррациональные уравнения
Тригонометрические уравнения
Показательные и логарифмические уравнения
Целые и дробно-рациональные неравенства
Иррациональные неравенства
Показательные и логарифмические неравенства
Тригонометрические неравенства
Системы и совокупности уравнений и неравенств
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Последовательности, способы задания последовательностей
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
Начала математического анализа
Производная функции. Производные элементарных функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке
Первообразная. Интеграл
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
Логика
Вероятность и статистика
Описательная статистика

Код
6.2
6.3
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5

Проверяемый элемент содержания
Вероятность
Комбинаторика
Геометрия
Фигуры на плоскости
Прямые и плоскости в пространстве
Многогранники
Тела и поверхности вращения
Координаты и векторы